Circuitos RL, RC y RLC en paralelo:
cálculo y diagramas fasoriales
Antonio Jesús Romero Vallecillos
Profesor de Tecnología e Ingeniería en Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato
Conectamos una pila ideal de 12 V a tres resistencias de 6 Ω, 12 Ω y 24 Ω en paralelo. Todas reciben la misma tensión. Al aplicar la ley de Ohm obtenemos corrientes de 2 A, 1 A y 0,5 A, respectivamente. La pila suministra la suma:
$$I=\frac{12}{6}+\frac{12}{12}+\frac{12}{24}=2+1+0{,}5=3{,}5\ \mathrm A$$
Podemos comprobar esta intensidad sustituyendo las tres resistencias por su resistencia equivalente. Para la asociación en paralelo:
$$\frac{1}{R_{\mathrm{eq}}}=\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{24}=\frac{7}{24}\ \Omega^{-1},\qquad R_{\mathrm{eq}}=\frac{24}{7}\ \Omega$$
$$I=\frac{V}{R_{\mathrm{eq}}}=\frac{12}{24/7}=3{,}5\ \mathrm A$$
Llegamos al mismo resultado por los dos caminos: sumar las corrientes de las ramas o aplicar la ley de Ohm a la resistencia equivalente proporciona los 3,5 A que suministra la pila.
Pasemos ahora a una fuente alterna ideal de 24 V eficaces y 50 Hz conectada a tres ramas: una resistencia de 12 Ω, una bobina de 25 mH y un condensador de 500 µF. En régimen permanente senoidal, sus corrientes eficaces son aproximadamente 2 A, 3,056 A y 3,770 A. Si calculamos la impedancia equivalente del conjunto y aplicamos la ley de Ohm en alterna, obtenemos una corriente eficaz de aproximadamente 2,124 A. En cambio, la suma aritmética de las corrientes eficaces de las ramas da otro resultado. De momento tomaremos estos valores como punto de partida; los justificaremos durante el artículo.
$$2+3{,}056+3{,}770=8{,}826\ \mathrm A\ne2{,}124\ \mathrm A$$
¿Por qué en el paralelo resistivo coinciden la suma de las corrientes y el cálculo mediante la resistencia equivalente, mientras que en el RLC la suma aritmética de los valores eficaces no coincide con el cálculo mediante la impedancia equivalente? La ley de Kirchhoff sigue cumpliéndose. En el RLC hemos sumado valores eficaces sin tener en cuenta las fases de las corrientes: sus máximos no se producen al mismo tiempo.
El objetivo es calcular las corrientes de las ramas, obtener la corriente total y explicar ese resultado. Mantendremos la tensión común como referencia y utilizaremos fasores para conservar el valor eficaz y la fase de cada corriente.
Conviene conocer el comportamiento de la resistencia, la bobina y el condensador, la representación mediante fasores y las operaciones con números complejos. Aplicaremos la ley de Ohm en corriente alterna por separado a cada rama. Si vienes del artículo de circuitos en serie, observa el cambio: ahora la tensión es común y se suman las corrientes.
El recorrido que seguiremos
- Datos del circuito. Identificaremos R, L, C, la tensión eficaz V y la frecuencia f. Convertiremos mH a H y µF a F, comprobaremos los dos nodos comunes y elegiremos la tensión a 0° como referencia.
- Cálculo de las reactancias. Obtendremos la reactancia de la bobina y del condensador a la frecuencia de la fuente. Estos valores permiten calcular la corriente de cada rama.
- Corrientes de rama mediante la ley de Ohm. Dividiremos la tensión común por la impedancia de cada elemento. Anotaremos tanto el valor eficaz como su fase: en fase para R, retrasada 90° para L y adelantada 90° para C.
- Suma fasorial de corrientes. Representaremos las tres corrientes con la misma escala y sumaremos sus componentes. La corriente capacitiva y la inductiva se compensan parcialmente en el eje vertical.
- Corriente eficaz total y desfase. Calcularemos el módulo y la fase de la resultante. Distinguiremos la fase de la corriente del argumento de la impedancia, de signo opuesto cuando la tensión está a 0°.
- Impedancia equivalente. Dividiremos el fasor de tensión por el de corriente total. Así describiremos la respuesta del conjunto entre los terminales de la fuente.
- Comprobación. Verificaremos la suma fasorial y la ley de Ohm global. Volveremos a los datos de la introducción para explicar por qué la fuente suministra 2,124 A y no 8,826 A.
En este artículo
- Tensión común y condiciones del modelo
- Corrientes de las ramas resistiva, inductiva y capacitiva
- Corriente total y ley de Kirchhoff
- Triángulo de intensidades y signo del desfase
- Procedimiento de cálculo
- Ejemplo RL: corriente total retrasada
- Ejemplo RC: corriente total adelantada
- Ejemplo RLC: compensación parcial de corrientes
- Admitancia e impedancia equivalente
- Cancelación de las corrientes reactivas
- Errores frecuentes de cálculo e interpretación
- Ejercicios de cálculo e interpretación
- De las corrientes a las potencias
- Fuente técnica consultada
Tensión común y condiciones del modelo
Dos elementos están en paralelo cuando sus terminales están conectados al mismo par de nodos. Si orientamos todas sus tensiones desde el nodo superior al inferior, comparten la misma tensión instantánea y el mismo fasor:
$$v_R(t)=v_L(t)=v_C(t)=v(t)$$
$$\underline V_R=\underline V_L=\underline V_C=\underline V$$
La tensión común varía con el tiempo; lo que permanece igual es su valor entre todas las ramas en cada instante. La corriente, en cambio, se reparte y depende de la impedancia de cada rama.
Trabajaremos con una resistencia ideal de valor positivo y finito, una bobina ideal y un condensador ideal, conectados en ramas separadas. En los casos RL o RC se omite la rama que no corresponde. Suponemos fuente ideal de tensión, conductores ideales, frecuencia positiva y régimen permanente senoidal: no estudiamos el transitorio de conexión, las pérdidas de la bobina ni acoplamientos magnéticos. Con una fuente real, su impedancia interna puede hacer que cambie la tensión al modificar las ramas; ese efecto queda fuera del modelo.
Usamos fasores subrayados de valor eficaz y referencia seno. Por ejemplo, una tensión de fase cero se representa así:
$$\underline V=V\angle0^\circ\quad\longleftrightarrow\quad v(t)=\sqrt2\,V\sin(\omega t),\qquad \omega=2\pi f$$
Aquí \(V\) es el valor eficaz en voltios, \(f\) la frecuencia en hercios y \(t\) el tiempo en segundos. Los ángulos dentro de funciones temporales se expresan en radianes; en los fasores utilizaremos grados. Elegimos la tensión como referencia porque es la magnitud compartida, aunque podríamos elegir otra sin alterar los resultados físicos.
Corrientes de las ramas resistiva, inductiva y capacitiva
La ley de Ohm fasorial se aplica por separado a cada rama:
$$\underline I_k=\frac{\underline V}{Z_k}$$
Las impedancias ideales son \(Z_R=R\), \(Z_L=jX_L\) y \(Z_C=-jX_C\), con \(j^2=-1\). Las reactancias \(X_L\) y \(X_C\) se definen aquí como cantidades positivas:
$$X_L=\omega L,\qquad X_C=\frac1{\omega C}$$
\(R\), \(X_L\) y \(X_C\) se miden en ohmios, \(L\) en henrios y \(C\) en faradios. El signo capacitivo ya está incluido en \(-jX_C\).
Con la tensión a 0°, obtenemos:
| Rama | Corriente fasorial | Valor eficaz | Fase respecto a la tensión |
|---|---|---|---|
| Resistencia | \(\underline I_R=V/R\) | \(I_R=V/R\) | 0°: en fase |
| Bobina | \(\underline I_L=V/(jX_L)=-jV/X_L\) | \(I_L=V/X_L\) | −90°: retrasada |
| Condensador | \(\underline I_C=V/(-jX_C)=jV/X_C\) | \(I_C=V/X_C\) | +90°: adelantada |
Dividir entre \(j\) equivale a multiplicar por \(-j\); dividir entre \(-j\) equivale a multiplicar por \(j\). Así se conserva en el cálculo el retraso de la corriente inductiva y el adelanto de la capacitiva. Las expresiones \(I_L=V/X_L\) e \(I_C=V/X_C\) proporcionan módulos, no fasores completos.
En el diagrama de Fresnel, \(\underline I_R\) se sitúa a la derecha, \(\underline I_L\) hacia abajo y \(\underline I_C\) hacia arriba. Todas las flechas de corriente deben utilizar la misma escala en amperios. La tensión puede indicarse mediante una dirección de referencia; no debemos comparar su longitud con la de una corriente como si tuvieran las mismas unidades.
Corriente total y ley de Kirchhoff
La ley de corrientes de Kirchhoff expresa que la corriente que entra en el nodo es igual a la suma algebraica de las que salen. Con las referencias de la figura:
$$i(t)=i_R(t)+i_L(t)+i_C(t)$$
Esta suma instantánea siempre es válida. Como todas las señales tienen la misma frecuencia, también podemos sumar sus fasores:
$$\underline I=\underline I_R+\underline I_L+\underline I_C$$
Al sustituir las expresiones de las ramas:
$$\underline I=I_R-jI_L+jI_C=I_R+j(I_C-I_L)$$
Las corrientes inductiva y capacitiva apuntan en sentidos opuestos en el plano fasorial. Por ello, primero obtenemos su diferencia con signo y después la combinamos con la corriente resistiva. El valor eficaz total es:
$$I=\sqrt{I_R^2+(I_C-I_L)^2}$$
No es, en general, \(I_R+I_L+I_C\). Los valores eficaces no contienen la información necesaria sobre cuándo se producen los máximos de cada corriente. Tampoco se resta \(I_L\) de \(I_C\) para obtener toda la corriente: falta la contribución resistiva, perpendicular a ambas.
Qué dice la ley de corrientes de Kirchhoff y cómo se aplica aquí
Un nodo es el conjunto de puntos unidos por conductores ideales que comparten el mismo potencial. En el modelo de circuito empleado, la corriente total que entra en un nodo es igual a la suma algebraica de las que salen: no se acumula carga neta en el nodo ideal.
En el circuito de continua inicial, entran 3,5 A y salen 2 A, 1 A y 0,5 A. Con esas referencias:
$$3{,}5-2-1-0{,}5=0\ \mathrm A$$
En alterna el balance se cumple en cada instante. Si todas las señales son senoidales de igual frecuencia, también se expresa mediante sus fasores. Sumar módulos eficaces de corrientes desfasadas no sustituye a esa suma. Esta es la ley de corrientes o de los nodos; en serie utilizamos la ley de tensiones o de las mallas.
Triángulo de intensidades y signo del desfase
La componente horizontal del triángulo es \(I_R\) y la coordenada vertical es \(I_C-I_L\). El segmento desde el origen hasta el extremo de la suma representa la corriente total. Como \(R\) es positiva y la tensión eficaz no es nula, \(I_R>0\) y podemos calcular su fase mediante:
$$\theta_I=\arctan\left(\frac{I_C-I_L}{I_R}\right)$$
La fase de la corriente no es el argumento de la impedancia. Mantenemos la convención del tema:
$$\varphi=\theta_V-\theta_I=\arg Z_{\mathrm{eq}}$$
Como hemos tomado \(\theta_V=0^\circ\), resulta \(\varphi=-\theta_I\).
| Relación entre corrientes | Fase de la corriente \(\theta_I\) | Argumento de la impedancia \(\varphi\) | Respuesta del conjunto |
|---|---|---|---|
| \(I_L>I_C\) | Negativa | Positivo | Inductiva: corriente retrasada |
| \(I_C>I_L\) | Positiva | Negativo | Capacitiva: corriente adelantada |
| \(I_C=I_L\) | Cero | Cero | Resistiva entre los terminales |
La figura muestra cómo pasamos de las corrientes de rama al triángulo resultante: primero obtenemos la diferencia vertical y después la combinamos con la corriente resistiva. Es un ejemplo de referencia con valores sencillos, distinto del RLC de la introducción.
Para un RL, \(I_C=0\); para un RC, \(I_L=0\). Estas sustituciones indican ausencia de la rama correspondiente: no significan que su reactancia sea cero, lo que produciría un cortocircuito ideal.
Procedimiento de cálculo
- Datos: V, f, R, L y C, con unidades SI y tensión de referencia.
- Reactancias: XL = 2πfL y XC = 1/(2πfC).
- Corrientes de rama: aplicar la tensión común y conservar las fases.
- Corriente total: sumar componentes y obtener módulo y ángulo.
- Impedancia equivalente: dividir los fasores V e I.
- Comprobación: recuperar la tensión de la fuente e interpretar la compensación.
Si el enunciado ya proporciona las reactancias a la frecuencia de trabajo, podemos comenzar con ellas. En los ejemplos RL y RC aplicaremos versiones abreviadas del mismo procedimiento; en el RLC retomaremos todos los datos del circuito inicial. Conservaremos cifras internas y redondearemos al final.
Ejemplo RL: corriente total retrasada
Una fuente de 24 V eficaces y 50 Hz alimenta dos ramas: \(R=12\) Ω y una bobina ideal con \(X_L=8\) Ω a esa frecuencia. Tomamos \(\underline V=24\angle0^\circ\) V.
La tensión es la misma en las dos ramas. Calculamos sus corrientes dividiendo por la impedancia correspondiente:
$$\underline I_R=\frac{24}{12}=2\ \mathrm A$$
$$\underline I_L=\frac{24}{j8}=-j3\ \mathrm A$$
Sumamos en forma binómica para conservar el retraso inductivo:
$$\underline I=(2-j3)\ \mathrm A$$
$$I=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{13}\approx3{,}606\ \mathrm A$$
$$\theta_I=\arctan(-3/2)\approx-56{,}31^\circ$$
La fuente suministra 3,606 A eficaces, con un retraso de 56,31°, en lugar de los 5 A que daría una suma aritmética de módulos.
La impedancia equivalente resulta 6,656∠56,31° Ω, o aproximadamente (3,692 + j5,538) Ω. Su argumento positivo confirma el retraso de la corriente.
Cálculo complejo de la impedancia equivalente del RL
Obtenemos ahora la impedancia equivalente dividiendo la tensión por la corriente compleja:
$$Z_{\mathrm{eq}}=\frac{24}{2-j3}=\frac{24(2+j3)}{2^2+3^2}=\frac{48+j72}{13}\ \Omega$$
$$Z_{\mathrm{eq}}\approx(3{,}692+j5{,}538)\ \Omega=6{,}656\angle56{,}31^\circ\ \Omega$$
Su argumento es positivo, coherente con una corriente retrasada. La parte real equivalente no es la resistencia física de 12 Ω: representa, junto con la parte imaginaria, la respuesta del conjunto entre los terminales a esa frecuencia.
Ejemplo RC: corriente total adelantada
Con la misma fuente de 24 V eficaces y 50 Hz conectamos en paralelo \(R=12\) Ω y un condensador de \(C=100\) µF. Primero calculamos su reactancia, convirtiendo la capacidad a faradios:
$$X_C=\frac1{2\pi\cdot50\cdot100\cdot10^{-6}}\ \Omega\approx31{,}831\ \Omega$$
La corriente resistiva sigue siendo 2 A. La del condensador adelanta 90° a la tensión:
$$\underline I_C=\frac{24}{-jX_C}=j\,2\pi\cdot50\cdot100\cdot10^{-6}\cdot24\ \mathrm A\approx j0{,}754\ \mathrm A$$
La corriente total resulta:
$$\underline I\approx(2+j0{,}754)\ \mathrm A$$
$$I\approx\sqrt{2^2+0{,}754^2}=2{,}137\ \mathrm A,\qquad\theta_I\approx20{,}66^\circ$$
La corriente adelanta 20,66°. Para recuperar la impedancia, dividimos módulos y restamos fases:
$$Z_{\mathrm{eq}}\approx\frac{24\angle0^\circ}{2{,}137\angle20{,}66^\circ}\ \Omega\approx11{,}229\angle(-20{,}66^\circ)\ \Omega$$
En forma binómica, \(Z_{\mathrm{eq}}\approx(10{,}507-j3{,}961)\) Ω. El signo negativo de su parte imaginaria confirma el carácter capacitivo. Los resultados se han obtenido conservando el valor no redondeado de \(X_C\).
Ejemplo RLC: compensación parcial de corrientes
Retomamos el RLC de la introducción: V = 24 V eficaces, f = 50 Hz, R = 12 Ω, L = 25 mH y C = 500 µF. Las tres ramas comparten la tensión y la tomamos a 0°. Antes de sumar corrientes, necesitamos las reactancias.
1. Calculamos las reactancias. Convertimos L = 0,025 H y C = 500·10⁻⁶ F. Aplicamos las relaciones de cada componente:
$$X_L=2\pi\cdot50\cdot0{,}025\approx7{,}854\ \Omega$$
$$X_C=\frac1{2\pi\cdot50\cdot500\cdot10^{-6}}\approx6{,}366\ \Omega$$
2. Calculamos las corrientes de rama. Dividimos la misma tensión entre cada impedancia. La resistencia conduce en fase, la bobina con retraso y el condensador con adelanto:
$$\underline I_R=\frac{24}{12}=2\ \mathrm A$$
$$\underline I_L=\frac{24}{jX_L}\approx-j3{,}056\ \mathrm A$$
$$\underline I_C=\frac{24}{-jX_C}\approx j3{,}770\ \mathrm A$$
3. Sumamos los fasores. La parte resistiva queda horizontal y las dos contribuciones reactivas se oponen. Su diferencia es aproximadamente 0,714 A hacia arriba:
$$\underline I=\underline I_R+\underline I_L+\underline I_C\approx2-j3{,}056+j3{,}770=(2+j0{,}714)\ \mathrm A$$
4. Obtenemos el valor eficaz y la fase. El módulo se calcula con las dos componentes perpendiculares; el ángulo expresa su inclinación respecto a la tensión:
$$I=\sqrt{I_R^2+(I_C-I_L)^2}\approx2{,}124\ \mathrm A$$
$$\theta_I=\arctan\left(\frac{I_C-I_L}{I_R}\right)\approx19{,}65^\circ$$
La corriente adelanta 19,65° a la tensión: el conjunto tiene carácter capacitivo. Con nuestra convención, el argumento de la impedancia es φ = −19,65°. La corriente eficaz de la fuente es menor que las de las ramas L y C, porque estas se compensan parcialmente en la suma.
5. Calculamos la impedancia equivalente. Dividimos tensión y corriente en forma polar, conservando el desfase:
$$Z_{\mathrm{eq}}=\frac{\underline V}{\underline I}\approx\frac{24\angle0^\circ}{2{,}124\angle19{,}65^\circ}\ \Omega\approx11{,}301\angle(-19{,}65^\circ)\ \Omega$$
En forma binómica, Zeq ≈ (10,643 − j3,800) Ω. Los resultados se han calculado sin redondear las corrientes intermedias. Su módulo supera las dos reactancias de rama: la regla del paralelo puramente resistivo no se puede trasladar al RLC.
6. Comprobamos el resultado inicial. Multiplicando la impedancia por la corriente recuperamos la tensión de la fuente:
$$(10{,}643-j3{,}800)(2+j0{,}714)\approx24+j0\ \mathrm V$$
Hemos recuperado los 2,124 A anunciados en la introducción. Los 8,826 A procedían de sumar módulos, ignorando sus fases. Kirchhoff se cumple: la corriente instantánea de la fuente es la suma algebraica de las corrientes de las ramas.
Comprobar las corrientes del circuito inicial en el tiempo
Con referencia seno y ω = 100π rad/s, las corrientes de rama se expresan como:
$$i_R(t)=2\sqrt2\sin(100\pi t)\ \mathrm A$$
$$i_L(t)\approx3{,}055775\sqrt2\sin(100\pi t-\pi/2)\ \mathrm A$$
$$i_C(t)\approx3{,}769911\sqrt2\sin(100\pi t+\pi/2)\ \mathrm A$$
Aplicando sin(x − π/2) = −cos x y sin(x + π/2) = cos x, su suma queda:
$$i(t)\approx\sqrt2[2\sin(100\pi t)+0{,}714136\cos(100\pi t)]\ \mathrm A$$
$$i(t)\approx2{,}123674\sqrt2\sin(100\pi t+0{,}342958)\ \mathrm A$$
La fase de 0,342958 rad equivale aproximadamente a 19,65°. Esta comprobación temporal describe la misma corriente que el fasor.
Admitancia e impedancia equivalente
Una vez comprendida la suma de corrientes, podemos expresar el mismo procedimiento mediante la admitancia, el inverso de la impedancia. Se mide en siemens, símbolo S, porque A/V = S. En paralelo se suman las admitancias de las ramas:
$$Y_{\mathrm{eq}}=\frac1{Z_{\mathrm{eq}}}=\frac1R+j\left(\frac1{X_C}-\frac1{X_L}\right)$$
$$\underline I=Y_{\mathrm{eq}}\underline V,\qquad Z_{\mathrm{eq}}=\frac1{Y_{\mathrm{eq}}}$$
Para el RLC inicial obtenemos Yeq ≈ (0,083333 + j0,029756) S. Al multiplicar por 24 V recuperamos la corriente 2 + j0,714 A. Es un método alternativo: no añade una ley nueva ni cambia el resultado.
Deducción de la admitancia y cálculo con el conjugado
Sacamos la tensión común como factor de la suma de corrientes:
$$\underline I=\underline V\left(\frac1R+\frac1{jX_L}+\frac1{-jX_C}\right)$$
En Y = G + jB, G es la conductancia y B la susceptancia, ambas en siemens. Aquí G = 1/R y B = 1/XC − 1/XL. La susceptancia capacitiva es positiva y la inductiva negativa. Invertir la admitancia cambia el signo del argumento; no se invierten por separado sus componentes:
$$Z_{\mathrm{eq}}=\frac1{G+jB}=\frac{G-jB}{G^2+B^2}$$
Como segundo caso de comprobación, tomamos 24 V, R = 12 Ω, XL = 8 Ω y XC = 6 Ω. Las corrientes son 2 A, −j3 A y j4 A; la suma es 2 + j1 A, con módulo 2,236 A. Estos valores son distintos de los del circuito inicial.
$$Y_{\mathrm{eq}}=\frac1{12}+j\left(\frac16-\frac18\right)=\frac1{12}+j\frac1{24}\ \mathrm S$$
$$Z_{\mathrm{eq}}=9{,}6-j4{,}8\ \Omega$$
El módulo 10,733 Ω supera 6 y 8 Ω: este segundo caso confirma por qué la regla del paralelo resistivo no sirve para todas las ramas reactivas. Para un RL se omite el término capacitivo; para un RC, el inductivo.
Cancelación de las corrientes reactivas
Si, a la frecuencia de trabajo, \(I_C=I_L\), la componente imaginaria de la corriente total es cero:
$$\underline I=I_R,\qquad Y_{\mathrm{eq}}=\frac1R,\qquad Z_{\mathrm{eq}}=R$$
Por ejemplo, con 24 V, \(R=12\) Ω y \(X_L=X_C=8\) Ω, circulan 3 A eficaces por la bobina y 3 A por el condensador, con fases opuestas. La fuente suministra los 2 A de la rama resistiva. La cancelación se produce en la suma vista desde la fuente; no significa que dejen de circular corrientes por L y C.
Esta condición está relacionada con la resonancia en paralelo, que requiere estudiar la frecuencia y las pérdidas. Aquí nos limitamos a interpretarla a una frecuencia dada. La rama resistiva finita evita una impedancia equivalente infinita. Si se eliminara esa rama, el paralelo LC ideal en cancelación tendría admitancia nula y no sería válido obtener una impedancia finita dividiendo por ella.
Errores frecuentes de cálculo e interpretación
- Sumar las impedancias de las ramas. La tensión es común y se suman corrientes. Por ello se suman admitancias, no \(R+jX_L-jX_C\); esta última expresión corresponde a una conexión serie.
- Confundir \(\theta_I\) con \(\varphi\). Con tensión a 0°, una corriente total adelantada tiene fase positiva y una impedancia equivalente de argumento negativo.
- Invertir solo los módulos. Calcular \(V/I\) proporciona \(|Z|\), pero no el número complejo completo. Para \(Z\) hace falta conservar también las fases.
- Trasladar la regla del paralelo resistivo al RLC. Las contribuciones reactivas pueden compensarse. El ejemplo RLC demuestra que \(|Z_{\mathrm{eq}}|\) puede superar las reactancias de rama.
- Interpretar el resultado como una instalación real completa. Las bobinas reales tienen resistencia y pérdidas; una rama inductiva real no conduce exactamente a −90°. Las fórmulas de corrientes puras corresponden al modelo indicado.
Ejercicios de cálculo e interpretación
Todas las tensiones son eficaces. En los ejercicios 1–4, las reactancias indicadas corresponden a la frecuencia de trabajo; en el ejercicio 5 tendrás que calcularlas.
- RL. Una fuente de 20 V alimenta en paralelo \(R=10\) Ω y \(X_L=5\) Ω. Calcula las corrientes, el desfase y la impedancia equivalente.
- RC. Una fuente de 30 V alimenta en paralelo \(R=15\) Ω y \(X_C=10\) Ω. Representa la suma de corrientes y calcula \(Z_{\mathrm{eq}}\).
- RLC inductivo. Una fuente de 24 V alimenta \(R=12\) Ω, \(X_L=6\) Ω y \(X_C=8\) Ω en ramas separadas. Calcula \(Y_{\mathrm{eq}}\), \(\underline I\) y \(Z_{\mathrm{eq}}\). Compara el signo del desfase con el ejemplo capacitivo del artículo.
- Cancelación. En el ejercicio 3 se cambia el condensador hasta que \(X_C=6\) Ω. ¿Qué corrientes circulan ahora? ¿Se han anulado las corrientes de todas las ramas? Obtén la capacidad necesaria si \(f=50\) Hz.
- Procedimiento completo. Una fuente de 24 V eficaces y 50 Hz alimenta en paralelo R = 24 Ω, L = 100 mH y C = 100 µF. Calcula las reactancias, las corrientes de rama, la corriente total con su fase y la impedancia equivalente. Comprueba la ley de Ohm global e interpreta el resultado.
Soluciones comentadas de los ejercicios en paralelo
1. RL. Tomamos la tensión a 0°. La corriente resistiva es \(20/10=2\) A y la inductiva \(20/(j5)=-j4\) A. Su suma es \(\underline I=(2-j4)\) A, de módulo \(\sqrt{20}\approx4{,}472\) A y fase \(\theta_I\approx-63{,}43^\circ\). La corriente se retrasa; el argumento de la impedancia es \(\varphi=+63{,}43^\circ\).
$$Z_{\mathrm{eq}}=\frac{20}{2-j4}=\frac{20(2+j4)}{20}=(2+j4)\ \Omega$$
Su módulo es \(\sqrt{20}\approx4{,}472\) Ω. La coincidencia numérica con la intensidad no implica que sean la misma magnitud: sus unidades son distintas. El producto \((2+j4)(2-j4)=20\) recupera la tensión.
2. RC. Las corrientes son \(\underline I_R=2\) A y \(\underline I_C=j3\) A. La resultante \(\underline I=(2+j3)\) A se representa con 2 A hacia la derecha y 3 A hacia arriba. Su módulo es \(\sqrt{13}\approx3{,}606\) A y su fase \(+56{,}31^\circ\).
$$Z_{\mathrm{eq}}=\frac{30(2-j3)}{13}\ \Omega\approx(4{,}615-j6{,}923)\ \Omega$$
El módulo es \(30/\sqrt{13}\approx8{,}321\) Ω y el argumento −56,31°. La corriente adelanta a la tensión.
3. RLC inductivo. La admitancia se obtiene sumando los inversos complejos:
$$Y_{\mathrm{eq}}=\frac1{12}+j\left(\frac18-\frac16\right)=\frac1{12}-j\frac1{24}\ \mathrm S$$
Multiplicar por 24 V da \(\underline I=(2-j1)\) A. También se obtiene sumando \(\underline I_R=2\) A, \(\underline I_L=-j4\) A y \(\underline I_C=j3\) A. Su módulo es \(\sqrt5\approx2{,}236\) A y su fase −26,57°.
$$Z_{\mathrm{eq}}=\frac{24}{2-j1}=(9{,}6+j4{,}8)\ \Omega$$
El argumento es +26,57°, inductivo. La corriente retrasa 26,57° respecto a la tensión. Su carácter es inductivo, mientras que el RLC inicial del artículo es capacitivo; sus módulos no tienen por qué coincidir.
4. Cancelación. Las corrientes son \(\underline I_R=2\) A, \(\underline I_L=-j4\) A y \(\underline I_C=j4\) A. Su suma es 2 A en fase con la tensión y \(Z_{\mathrm{eq}}=12\) Ω. Las ramas reactivas siguen conduciendo 4 A eficaces cada una.
Para conseguir \(X_C=6\) Ω a 50 Hz despejamos la capacidad:
$$C=\frac1{2\pi fX_C}=\frac1{2\pi\cdot50\cdot6}\ \mathrm F\approx530{,}516\ \mathrm{\mu F}$$
El valor responde al modelo ideal y a la frecuencia indicada; no constituye una selección de un componente para una instalación real.
5. Procedimiento completo. Las reactancias son XL ≈ 31,416 Ω y XC ≈ 31,831 Ω. La corriente resistiva es 1 A; la inductiva, −j0,763944 A; la capacitiva, j0,753982 A. Por tanto:
$$\underline I\approx(1-j0{,}009961)\ \mathrm A\approx1{,}000050\angle(-0{,}5707^\circ)\ \mathrm A$$
$$Z_{\mathrm{eq}}\approx(23{,}9976+j0{,}2391)\ \Omega$$
La corriente se retrasa ligeramente: el conjunto es inductivo y está próximo, pero no es igual, a la cancelación reactiva. Multiplicar los valores complejos no redondeados de Z e I recupera 24 + j0 V. La proximidad entre las reactancias no autoriza a declarar que las corrientes reactivas se anulan exactamente.
De las corrientes a las potencias
El circuito inicial ya queda explicado: las corrientes de L y C se compensan parcialmente y la fuente suministra 2,124 A eficaces. En serie sumábamos tensiones con una corriente común; en paralelo sumamos corrientes con una tensión común.
La suma fasorial permite conocer la corriente de alimentación y el desfase del conjunto. El siguiente problema consiste en interpretar qué parte de esa respuesta se relaciona con la transformación de energía y cuál con su almacenamiento y devolución. Para ello distinguiremos potencia activa, reactiva y aparente, manteniendo los valores eficaces y la misma convención de desfase.
Fuente técnica consultada
Chaniotakis y Cory, MIT, Sinusoidal Steady State Response: Frequency domain representation. Impedance, curso 6.071/22.071, primavera de 2006, pp. 8–11. Documento original. Consulta: 18/10/2026. Contraste de impedancias elementales y asociación en paralelo. Aquí se emplean módulos eficaces y referencia seno; los ejemplos, ejercicios y figuras son de elaboración propia.