Fasores y diagramas de Fresnel
Representación de tensiones e intensidades
Antonio Jesús Romero Vallecillos
Profesor de Tecnología e Ingeniería en Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato
Una gráfica temporal muestra cómo cambia una tensión o una intensidad en cada instante. Para comparar varias señales senoidales de la misma frecuencia podemos recurrir a una representación más compacta: los fasores. La longitud de cada flecha expresa el valor de la magnitud y su orientación indica la fase.
El diagrama de Fresnel reúne estos fasores en un mismo plano. Permite reconocer qué señal está adelantada, medir el desfase y sumar magnitudes senoidales sin dibujar todas sus ondas.
Al terminar podrás pasar de una onda a su fasor y reconstruirla, interpretar el adelanto entre señales, cambiar la referencia sin alterar su relación y sumar geométricamente dos tensiones de igual frecuencia. Necesitas reconocer amplitud, frecuencia y fase, y distinguir valor máximo de valor eficaz.
En este artículo
De la onda senoidal al vector giratorio
Imaginemos una flecha que gira en sentido antihorario con velocidad angular constante. Su origen permanece fijo y su extremo describe una circunferencia. Al observar su proyección vertical, vemos que sube y baja siguiendo una función seno.
Si la longitud de la flecha es el valor máximo de una tensión, su proyección vertical cumple:
$$v(t)=V_{\mathrm{máx}}\sin(\omega t+\theta_V)$$
El ángulo inicial de la flecha es \(\theta_V\) y su posición angular en cualquier instante es \(\omega t+\theta_V\). La velocidad de giro es \(\omega=2\pi f\), expresada en rad/s. Puedes repasar estos parámetros en Fundamentos de la corriente alterna.
En la figura, observa primero la altura del extremo: a 30° es la mitad del radio. Después busca el punto naranja de la onda en t = 0: también vale 0,5 veces el máximo. La proyección y la señal describen el mismo valor normalizado.
Esta flecha es una herramienta matemática: no representa un desplazamiento físico de la tensión por el espacio.
Qué es un fasor
Un fasor representa una magnitud senoidal mediante dos datos: su módulo y su fase. La frecuencia sigue siendo un dato común del análisis, aunque no se escriba dentro del fasor.
Si varias flechas giran a la misma velocidad, los ángulos entre ellas permanecen constantes. Al prescindir de ese giro común obtenemos un dibujo fijo que conserva las relaciones de fase: el diagrama fasorial estático.
En este artículo usaremos valores eficaces como módulos y funciones seno como referencia temporal:
$$\begin{gathered}x(t)=\sqrt{2}\,X\sin(\omega t+\theta)\\[4pt]\longleftrightarrow\quad \underline{X}=X\angle\theta\end{gathered}$$
Aquí \(x(t)\) es el valor instantáneo, \(X\) el valor eficaz y \(\theta\) la fase inicial. El subrayado distingue el fasor de su módulo; el símbolo \(\angle\) se lee «con ángulo».
Por ejemplo:
$$\underline{V}=100\angle30^\circ\ \mathrm{V}$$
representa una tensión eficaz de 100 V y fase de 30°. No significa que la tensión instantánea valga siempre 100 V. Para reconstruir la onda necesitamos además conocer su frecuencia.
Antes hemos usado una flecha giratoria de módulo máximo para que su proyección coincidiera directamente con el valor instantáneo. Si utilizamos un fasor de módulo eficaz, la proyección del vector giratorio asociado debe multiplicarse por \(\sqrt{2}\). Ambas representaciones son posibles, siempre que indiquemos cuál utilizamos. La relación pico/eficaz se desarrolla en Valores característicos de la corriente alterna.
La misma señal, dos módulos. Para la tensión \(v(t)=100\sqrt{2}\sin(100\pi t+\pi/6)\ \mathrm{V}\), la representación con módulo máximo tiene longitud \(100\sqrt{2}\approx141{,}4\ \mathrm{V}\) y fase de 30°. Con módulo eficaz, el fasor es \(100\angle30^\circ\ \mathrm{V}\). El ángulo y la señal son los mismos; solo cambia la escala del módulo por el factor √2. La proyección del vector de módulo máximo da directamente el valor instantáneo; la del vector giratorio asociado al fasor eficaz debe multiplicarse por √2.
Ejemplo: obtener el fasor de una tensión
Consideremos, con \(t\) en segundos:
$$v(t)=100\sqrt{2}\sin\left(100\pi t+\frac{\pi}{6}\right)\ \mathrm{V}$$
El coeficiente del seno es el valor máximo. Al dividirlo por \(\sqrt{2}\) obtenemos 100 V eficaces. La fase inicial es \(\pi/6=30^\circ\) y la pulsación es \(100\pi\) rad/s, por lo que la frecuencia es 50 Hz.
El resultado es:
$$\begin{gathered}\underline{V}=100\angle30^\circ\ \mathrm{V}\\[4pt](f=50\ \mathrm{Hz})\end{gathered}$$
Para dibujarlo, trazamos desde el origen una flecha que forme 30° en sentido antihorario con el eje horizontal positivo. Con una escala de 20 V por centímetro, su longitud sería 5 cm.
Ejemplo: recuperar la expresión temporal
Si conocemos:
$$\begin{gathered}\underline{I}=10\angle(-45^\circ)\ \mathrm{A}\\[4pt] f=50\ \mathrm{Hz}\end{gathered}$$
el valor máximo es \(10\sqrt{2}\) A y la pulsación, \(100\pi\) rad/s. Por tanto:
$$i(t)=10\sqrt{2}\sin\left(100\pi t-\frac{\pi}{4}\right)\ \mathrm{A}$$
El signo negativo expresa un retraso de 45° respecto a una señal de fase cero de la misma frecuencia.
Cómo leer un diagrama de Fresnel
En un diagrama de Fresnel se representan los fasores respecto a una referencia angular común. Los ángulos positivos se miden en sentido antihorario; los negativos, en sentido horario.
El eje horizontal no es un eje de tiempo. Una flecha inclinada tampoco indica la dirección física de una corriente en el conductor: muestra la fase de su variación senoidal.
Si las señales comparten frecuencia y convención temporal, definimos la diferencia como la fase de la primera menos la de la segunda, Δθ = θ₁ − θ₂. Con esta referencia, se interpreta así:
| Diferencia de fase | Relación entre señales |
|---|---|
| 0° = 0 rad | Están en fase: sus máximos y pasos por cero correspondientes coinciden. |
| +90° = +π/2 rad | La primera adelanta un cuarto de periodo a la segunda. |
| −90° = −π/2 rad | La primera retrasa un cuarto de periodo respecto a la segunda. |
| 180° = π rad | Están en oposición de fase: una alcanza su máximo positivo cuando la otra alcanza su máximo negativo. |
Las fases equivalentes difieren en vueltas completas: 270° y −90° describen la misma orientación. Para interpretar adelantos y retrasos conviene expresar la diferencia dentro de un intervalo acordado, habitualmente de −180° a +180°.
Comparar tensión e intensidad
Escribimos los fasores de ambas magnitudes:
$$\begin{gathered}\underline{V}=V\angle\theta_V\\[4pt]\underline{I}=I\angle\theta_I\end{gathered}$$
Definiremos el desfase de la tensión respecto a la intensidad como:
$$\varphi=\theta_V-\theta_I$$
Una vez reducida la diferencia al intervalo de −180° a +180°, si \(0^\circ<\varphi<180^\circ\), la tensión adelanta a la intensidad; si \(-180^\circ<\varphi<0^\circ\), queda retrasada. Para \(\varphi=0^\circ\) están en fase y para \(\varphi=\pm180^\circ\) están en oposición: en ese caso no hay un sentido de adelanto único.
Por ejemplo, si \(\theta_V=30^\circ\) y \(\theta_I=0^\circ\), la tensión adelanta 30° a la intensidad. Para obtener cuánto se adelanta el máximo de tensión definimos \(\Delta t=t_I-t_V=(\theta_V-\theta_I)/\omega\), con el ángulo en radianes y máximos correspondientes del mismo ciclo. Un resultado positivo significa que el máximo de tensión aparece antes. A 50 Hz, esta separación equivale a:
$$\Delta t=\frac{\pi/6}{100\pi}=\frac{1}{600}\ \mathrm{s}\approx1{,}67\ \mathrm{ms}$$
Un máximo de tensión aparece, por tanto, 1,67 ms antes que el máximo correspondiente de intensidad. El diagrama recoge la misma relación que mostrarían las dos ondas en una gráfica temporal.
Elegir y cambiar la referencia de fase
Al analizar las señales podemos elegir la referencia de fase. Podemos colocar uno de los fasores sobre el eje horizontal y expresar las fases de los demás respecto a él.
Tomemos:
$$\begin{gathered}\underline{I}=5\angle0^\circ\ \mathrm{A}\\[4pt]\underline{V}=100\angle30^\circ\ \mathrm{V}\end{gathered}$$
La intensidad es la referencia y la tensión adelanta 30°. Si preferimos tomar la tensión como referencia, restamos 30° a las fases de todos los fasores:
$$\begin{gathered}\underline{V}^{\prime}=100\angle0^\circ\ \mathrm{V}\\[4pt]\underline{I}^{\prime}=5\angle(-30^\circ)\ \mathrm{A}\end{gathered}$$
La operación cambia las dos fases absolutas, pero su resta conserva el valor:
$$\varphi^{\prime}=0^\circ-(-30^\circ)=30^\circ$$
El circuito se comporta igual; lo que cambia es la referencia con la que lo describimos. Para reconstruir las expresiones temporales con las nuevas fases debemos usar también un origen temporal coherente con esa referencia.
En circuitos serie suele resultar cómodo tomar la intensidad como referencia, porque es común a todos los elementos. En paralelo suele elegirse la tensión, porque es común a las ramas. Son elecciones prácticas; un enunciado puede establecer otra referencia.
Suma geométrica de fasores
La suma de dos tensiones senoidales de igual frecuencia, instante a instante, puede obtenerse sumando geométricamente sus fasores. Lo mismo ocurre con las intensidades.
Para sumar dos fasores podemos colocar el origen del segundo en el extremo del primero, conservando su longitud y orientación. La resultante une el origen inicial con el extremo final. También podemos construir el paralelogramo de ambos fasores dibujados desde el mismo origen.
Solo se suman magnitudes compatibles: tensiones con tensiones o intensidades con intensidades, con las polaridades o sentidos de referencia definidos. No se suman directamente voltios y amperios.
Ejemplo: dos tensiones en cuadratura
Sean dos tensiones de 50 Hz cuyos fasores eficaces son:
$$\begin{gathered}\underline{V}_1=30\angle0^\circ\ \mathrm{V}\\[4pt]\underline{V}_2=40\angle90^\circ\ \mathrm{V}\end{gathered}$$
Queremos representar la señal \(v(t)=v_1(t)+v_2(t)\). El primer fasor es horizontal y el segundo vertical. Al sumarlos se forma un triángulo rectángulo:
Antes de calcular, podemos anticipar el resultado: las tensiones no alcanzan sus máximos a la vez, así que no procede sumar 30 y 40 como si fueran dos señales en fase. Si ambas tuvieran fase 0°, el módulo resultante sí sería 70 V; con 90° de separación es 50 V. La diferencia procede de la fase, no de un cambio de frecuencia.
$$V=\sqrt{30^2+40^2}=50\ \mathrm{V}$$
El ángulo de la resultante respecto al eje horizontal cumple:
$$\begin{gathered}\tan\theta=\frac{40}{30}\\[4pt]\Rightarrow\quad \theta\approx53{,}13^\circ\end{gathered}$$
Así:
$$\underline{V}=50\angle53{,}13^\circ\ \mathrm{V}$$
La expresión temporal resultante es:
$$v(t)=50\sqrt{2}\sin\left(100\pi t+\arctan\frac{4}{3}\right)\ \mathrm{V}$$
Podemos comprobar el resultado en \(t=0\): la primera tensión vale cero y la segunda, \(40\sqrt{2}\) V. La resultante da el mismo valor, porque el seno de su ángulo es \(40/50\).
El teorema de Pitágoras sirve aquí porque los fasores son perpendiculares. Para otros ángulos hay que utilizar la geometría correspondiente o las operaciones con números complejos.
Condiciones y errores que conviene evitar
El diagrama estático supone que las señales son senoidales y comparten la misma frecuencia. Si tienen frecuencias distintas, el ángulo entre sus vectores giratorios cambia con el tiempo; su suma no se representa mediante un único fasor fijo. Una señal no senoidal tampoco queda descrita, en general, por un solo fasor.
Tampoco debemos mezclar valores máximos y eficaces dentro de una misma suma. Antes de dibujar, conviene identificar qué tipo de valor proporciona cada dato y convertirlo a la convención elegida.
También debemos mantener la misma referencia trigonométrica. Como \(\cos\alpha=\sin(\alpha+90^\circ)\), una onda escrita con coseno debe convertirse antes de compararla con nuestros fasores de referencia senoidal. Por ejemplo, \(10\sqrt{2}\cos(\omega t)\) V corresponde aquí a \(10\angle90^\circ\) V. Si se adoptara una convención común basada en cosenos, su fase sería 0°.
Un diagrama que combina tensión e intensidad puede utilizar escalas distintas para cada magnitud. Sirve para comparar sus fases, pero no para deducir una relación entre voltios y amperios a partir de las longitudes dibujadas.
Comprueba que sabes interpretar los fasores
Una tensión y una intensidad de 50 Hz vienen dadas por:
$$\begin{gathered}\underline{V}=120\angle20^\circ\ \mathrm{V}\\[4pt]\underline{I}=4\angle(-10^\circ)\ \mathrm{A}\end{gathered}$$
Determina quién adelanta, expresa ambos fasores tomando la intensidad como referencia y escribe la expresión temporal de la intensidad en la referencia original.
Inténtalo antes de consultar la solución.
Ver solución
Solución. La tensión adelanta a la intensidad 30°, porque \(20^\circ-(-10^\circ)=30^\circ\). Para tomar la intensidad como referencia sumamos 10° a ambas fases:
$$\begin{gathered}\underline{I}^{\prime}=4\angle0^\circ\ \mathrm{A}\\[4pt]\underline{V}^{\prime}=120\angle30^\circ\ \mathrm{V}\end{gathered}$$
En la referencia original, la intensidad es:
$$i(t)=4\sqrt{2}\sin\left(100\pi t-\frac{\pi}{18}\right)\ \mathrm{A}$$
Reto breve: oposición y frecuencia
Dos tensiones senoidales tienen 20 V eficaces cada una y la misma frecuencia. Una tiene fase 0° y la otra 180°. Sin calcular valores instantáneos, predice su suma. ¿Podrías representarla mediante un único fasor fijo si una fuese de 50 Hz y la otra de 60 Hz?
Ver solución del reto
Con igual frecuencia, sus fasores tienen el mismo módulo y sentidos opuestos: se cancelan. La tensión resultante es cero en todo instante y su valor eficaz es 0 V. La fase de una resultante nula no está definida.
Si las frecuencias son diferentes, la diferencia de fase cambia con el tiempo. Las tensiones no se cancelan permanentemente y su suma no puede describirse con un único fasor fijo. Se analizan por separado sus componentes de 50 Hz y 60 Hz.
El paso entre señales temporales y fasores, la lectura de diagramas y las sumas geométricas sencillas sirven de base para el cálculo posterior. Las operaciones con números complejos permitirán sistematizarlo cuando los ángulos y las asociaciones sean más variados.
Fuentes consultadas
- Chaniotakis y Cory. Sinusoidal Steady State Response: Frequency domain representation. Impedance. MIT, curso 6.071/22.071, primavera de 2006, pp. 4 y 7 (numeración impresa): documento original. Referencia para la representación mediante módulo y fase y el uso coherente de seno y coseno. En este artículo se adoptan módulos eficaces y referencia senoidal; la fuente utiliza amplitudes en sus fasores.
- Antonio Jesús Romero Vallecillos. Fundamentos de la corriente alterna y Valores característicos de la corriente alterna, como recursos previos para los parámetros temporales y la conversión entre máximo y eficaz.
Consulta de las fuentes: 16/10/2026.