Al sumar dos tensiones alternas no basta con sumar sus valores eficaces: también debemos tener en cuenta su desfase. Dos tensiones de 20 V pueden dar una resultante menor de 40 V si sus máximos no se producen al mismo tiempo. Un diagrama de flechas permite comprenderlo; para obtener el resultado sin depender de la precisión del dibujo necesitamos un procedimiento de cálculo.

Los números complejos permiten operar con el valor y la fase de cada señal a la vez. En este artículo aprenderás a convertir entre forma binómica y polar, sumar y restar por componentes, multiplicar y dividir mediante módulos y ángulos, y comprobar el cuadrante del resultado. Estas operaciones servirán después para calcular tensiones e intensidades en los circuitos de corriente alterna.

Para seguir la explicación conviene conocer qué es un fasor, cómo se mide su fase y qué representa su módulo. Puedes repasarlo en Fasores y diagramas de Fresnel. Si necesitas aclarar la fase de una senoide, consulta Fundamentos de la corriente alterna; la diferencia entre valor máximo y eficaz se desarrolla en Valores característicos de la corriente alterna.

Como punto de partida, un fasor es una representación matemática de una señal senoidal mediante una flecha: su longitud indica el módulo y su ángulo, la fase. Aquí utilizaremos valores eficaces como módulos y una referencia temporal basada en el seno. Para sumar señales, deberán compartir frecuencia y referencia de fase, además de representar magnitudes compatibles.

También emplearemos el teorema de Pitágoras y las relaciones de un triángulo rectángulo: el coseno relaciona el cateto adyacente con la hipotenusa, el seno relaciona el opuesto con la hipotenusa y la tangente es el cociente entre ambos catetos. Las aplicaremos en cada conversión, sin suponer conocimientos previos de números complejos.

En los números reales no existe ningún número cuyo cuadrado sea negativo. Para ampliar las operaciones posibles introducimos la unidad imaginaria, que en electrotecnia escribimos con la letra \(j\):

Muchos textos de matemáticas utilizan \(i\) para esta misma unidad. Empleamos \(j\) para evitar confundirla con el símbolo de la intensidad instantánea, \(i(t)\).

La relación anterior permite reducir las potencias de \(j\):

A partir de ahí, el ciclo se repite. También resulta útil:

Podemos comprobarlo multiplicando \(j\) por \(-j\): el resultado es \(-j^2=1\).

El término «imaginario» es una denominación matemática. No significa que la tensión o la corriente que estudiamos sean ficticias.

Un número complejo se escribe en forma binómica como:

Los números \(a\) y \(b\) son reales y \(j\) no tiene unidades. El primero es la parte real y el segundo, la parte imaginaria:

Conviene distinguir la parte imaginaria, \(b\), del término imaginario completo, \(jb\).

En el plano complejo, \(a\) es la coordenada horizontal y \(b\) la vertical. Por ejemplo, \(z=6+j8\) se representa mediante el punto \((6,8)\) o mediante una flecha que une el origen con ese punto. Ambas coordenadas pertenecen al mismo número.

Cuando el número representa un fasor de tensión, escribimos sus unidades:

Las componentes son 6 V y 8 V, pero el valor eficaz de la tensión no es 6 V ni 8 V por separado. Es el módulo del fasor, que calcularemos a continuación. Los ejes describen componentes matemáticas; no son dos direcciones espaciales de la tensión.

Si \(b=0\), el número queda sobre el eje real. Si \(a=0\) y \(b\ne0\), es imaginario puro y queda sobre el eje imaginario.

La forma polar expresa el mismo número mediante su módulo, \(r\), y su argumento, \(\theta\):

El módulo es la distancia al origen y nunca es negativo. El argumento indica la orientación respecto al eje real positivo; medimos los ángulos positivos en sentido antihorario.

Las componentes horizontal y vertical son perpendiculares. Si el número no es cero, la flecha que une el origen con su extremo es la hipotenusa del triángulo formado por esas componentes. Aplicamos Pitágoras para obtener su longitud:

En nuestro ejemplo:

Para conocer la orientación usamos la tangente: el cateto vertical dividido por el horizontal da \(b/a\). Cuando \(a\ne0\), se cumple \(\tan\theta=b/a\). En este caso ambas componentes son positivas y el fasor está en el primer cuadrante; podemos usar directamente la arcotangente:

Por tanto, las dos expresiones siguientes representan exactamente la misma tensión:

El ángulo está redondeado. Las dos formas conservan la misma información: la binómica facilita operar con componentes y la polar permite leer directamente el valor eficaz y la fase.

Cómo determinar el cuadrante del argumento

La expresión \(\arctan(b/a)\), utilizada sin comprobar los signos, puede dar una orientación incorrecta. Dos puntos opuestos tienen el mismo cociente \(b/a\), aunque sus argumentos difieren 180°.

Consideremos ahora:

Su módulo sigue siendo 10. Sin embargo, el punto está en el segundo cuadrante, porque su componente horizontal es negativa y la vertical, positiva. La calculadora puede devolver:

Ese ángulo apunta al cuarto cuadrante. Para obtener el correspondiente al punto dado, sumamos 180°:

Así:

Antes de aceptar un argumento, comprueba dónde debe estar el punto:

Para \(a<0\), podemos sumar 180° al resultado de la arcotangente si \(b>0\), o restar 180° si \(b<0\). Si \(a=0\), no dividimos por cero: el argumento es 90° para \(b>0\) y −90° para \(b<0\). Sobre el eje real negativo podemos usar 180°; sobre el positivo, 0°.

Algunas herramientas disponen de la función \(\mathrm{atan2}(b,a)\), que considera ambas componentes y determina el cuadrante. El orden de sus argumentos debe comprobarse en la herramienta utilizada.

Los ángulos que difieren en una vuelta completa son equivalentes: −90° y 270° describen la misma orientación. Para \(z=0\), el módulo es cero y el argumento no está definido.

Si conocemos el módulo \(r\) y el argumento \(\theta\), buscamos las proyecciones sobre los ejes. En el primer cuadrante, el coseno cumple \(\cos\theta=a/r\) y el seno, \(\sin\theta=b/r\). Al despejar las componentes obtenemos las siguientes relaciones, que se extienden a todos los cuadrantes usando los signos del seno y del coseno:

Por tanto:

Esta expresión también se conoce como forma trigonométrica.

Por ejemplo, una intensidad eficaz de 12 A con fase de −30° se escribe:

Su componente real es:

Y su componente imaginaria:

El resultado es:

El signo negativo de la componente imaginaria concuerda con un fasor situado por debajo del eje real. Esta comprobación permite detectar un error de signo antes de continuar.

Para sumar números complejos reunimos las partes reales y las imaginarias:

Para restar, el signo menos afecta a las dos componentes del segundo número:

No sumamos los módulos y los argumentos por separado. Las componentes indican cuánto aporta cada flecha en cada eje; por eso su suma reproduce la suma geométrica.

Ejemplo resuelto: sumar dos tensiones desfasadas

Queremos obtener la suma de dos tensiones senoidales de la misma frecuencia, expresadas con valores eficaces y una referencia de fase común:

Antes de calcular, observa que sus componentes verticales serán opuestas. Esperamos una resultante horizontal.

Convertimos a forma binómica para poder sumar componentes. Para la primera tensión, \(20\cos30^\circ=10\sqrt{3}\) V y \(20\sin30^\circ=10\) V. La segunda conserva el coseno y cambia el signo del seno, porque su ángulo es −30°:

Ahora reunimos las componentes horizontales y, por separado, las verticales:

Las verticales se cancelan, tal como habíamos previsto:

Por tanto:

La resultante tiene la orientación prevista y su módulo es menor que 40 V, la suma de los módulos. Las señales no alcanzan sus máximos al mismo tiempo.

Si restamos los mismos fasores, el signo menos afecta a toda la segunda tensión. Por eso la componente imaginaria de la resta es \(10-(-10)=20\) V, mientras que la real es \(10\sqrt{3}-10\sqrt{3}=0\) V:

La resta cancela las componentes horizontales y suma las verticales. No se obtiene restando 20−20 y 30°−(−30°) en forma polar.

Esta suma de fasores representa la suma temporal de las señales cuando comparten frecuencia y convención. Solo podemos sumar magnitudes compatibles y expresadas en las mismas unidades.

En forma binómica aplicamos la propiedad distributiva y sustituimos \(j^2\) por −1:

Por ejemplo, con números sin unidades:

Como \(j^2=-1\), el último término vale \(-3(-1)=+3\). Agrupamos los términos reales, \(8+3=11\), y los imaginarios, \(-j2+j12=j10\):

En forma polar, la misma operación resulta más breve:

Esta regla se obtiene al multiplicar las formas trigonométricas y utilizar las identidades del seno y del coseno de una suma. La multiplicación combina un cambio de longitud con un giro. Esta interpretación angular supone factores no nulos. Si alguno es cero, el producto es cero y su argumento no está definido.

Por qué al multiplicar se suman los argumentos

Escribimos los dos factores en forma trigonométrica. Sus módulos son \(r_1\) y \(r_2\), y sus argumentos, \(\alpha\) y \(\beta\):

$$z_1=r_1(\cos\alpha+j\sin\alpha)$$

$$z_2=r_2(\cos\beta+j\sin\beta)$$

Multiplicamos las cuatro parejas de términos aplicando la propiedad distributiva. El producto de los términos imaginarios contiene \(j^2=-1\) y se convierte en un término real negativo:

$$z_1z_2=r_1r_2[(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)+j(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)]$$

Las expresiones entre paréntesis son las identidades de adición:

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

Al sustituirlas, el resultado vuelve a tener forma trigonométrica, con módulo \(r_1r_2\) y argumento \(\alpha+\beta\):

$$z_1z_2=r_1r_2[\cos(\alpha+\beta)+j\sin(\alpha+\beta)]$$

La suma de argumentos procede de estas identidades; no es una regla elegida arbitrariamente.

Así, para otros dos números sin unidades:

Qué significa multiplicar por j

El número \(j\) tiene módulo 1 y argumento 90°:

Multiplicar por \(j\) conserva el módulo y añade 90° al argumento. Podemos comprobarlo con:

El punto \((6,8)\) pasa a \((-8,6)\): la flecha gira 90° en sentido antihorario. Multiplicar por \(-j\) produce un giro de 90° en sentido horario.

El producto de dos fasores no representa, en general, el fasor del producto de sus señales temporales. Aquí estamos aprendiendo una operación algebraica; su aplicación física dependerá de la relación que formulemos.

El conjugado de un número complejo cambia el signo de su parte imaginaria:

Gráficamente, es su reflejo respecto al eje real. Conserva el módulo y cambia el signo del argumento, salvo las equivalencias por vueltas completas.

Su utilidad en la división se debe a que:

Los términos imaginarios de ese producto se cancelan; además, \(-j^2b^2=+b^2\). El resultado es real. Para dividir en forma binómica multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador. Así multiplicamos la fracción por 1 y conservamos su valor, pero obtenemos un denominador real:

Por ejemplo:

En el numerador, la distributiva produce \(12+j6+j16+8j^2\). Sustituimos \(j^2=-1\) y reunimos términos: \(12-8+j(6+16)=4+j22\).

En el denominador multiplicamos un número por su conjugado: \((2-j)(2+j)=2^2+1^2=5\). Dividimos ahora ambas componentes del numerador entre ese mismo número real:

Por tanto:

Podemos comprobar el cociente mediante la operación inversa:

En forma polar dividimos los módulos y restamos los argumentos. Podemos entender la resta a partir del producto: si el cociente tiene fase \(\theta\), al multiplicarlo por el divisor de fase \(\theta_2\) debemos recuperar la fase \(\theta_1\) del dividendo. Se cumple \(\theta+\theta_2=\theta_1\) y, por tanto, \(\theta=\theta_1-\theta_2\):

Por ejemplo:

El divisor debe ser distinto de cero. Si el dividendo es cero, el cociente es cero y no tiene un argumento definido; no necesitamos asignarle un ángulo.

No confundas el conjugado con el opuesto ni con el inverso. Para \(z=6+j8\):

El conjugado refleja; el opuesto gira 180°; el inverso cambia el módulo a su recíproco y cambia el signo del argumento.

No necesitamos realizar todas las operaciones en una única representación:

En una calculadora con números complejos, selecciona el modo correspondiente y comprueba la unidad angular. En estos ejemplos utilizamos grados; las expresiones temporales con \(\omega t\) requieren coherencia con los radianes.

La calculadora puede mostrar la unidad imaginaria como \(i\). En ese caso, introducir \(6+8i\) equivale a nuestro \(6+j8\). Las teclas, menús y funciones de conversión dependen del modelo.

Antes de resolver un ejercicio, utiliza estas comprobaciones:

• \(6+j8\) debe dar módulo 10 y argumento próximo a 53,13°.
• \(-6+j8\) debe dar argumento próximo a 126,87°.
• \(10\angle(-90^\circ)\) debe convertirse en \(-j10\).

Si no coinciden, revisa el modo angular, el orden de las componentes y los paréntesis. Conserva cifras durante los pasos intermedios y redondea al presentar el resultado.

Supongamos que un cálculo proporciona:

La forma binómica indica las componentes. Para interpretar el valor eficaz y la fase obtenemos:

El cuarto cuadrante es correcto:

Para recuperar la onda usamos la convención del tema:

Aquí \(I\) es el valor eficaz, \(\sqrt{2}\,I\) es el máximo, \(\omega\) la pulsación en rad/s y \(\theta_I\) la fase expresada en radianes. Si la frecuencia es 50 Hz, calculamos \(\omega=2\pi f=100\pi\) rad/s. El módulo es 5 A y el ángulo es negativo, por lo que la fase entra restando. Con \(t\) en segundos:

En esta fórmula, la arcotangente se expresa en radianes: aproximadamente 0,9273 rad. El valor eficaz es 5 A y el máximo, \(5\sqrt{2}\) A. La fase negativa indica un retraso respecto a la referencia de fase cero.

Las tres expresiones describen la misma señal de distinta manera: componentes para operar, módulo y fase para interpretar, y función temporal para conocer su valor en cada instante.

Resuelve estas cuatro situaciones antes de consultar sus soluciones. En los ejercicios puramente numéricos no se asignan unidades.

1. Convierte \(z=-8-j6\) a polar. Indica primero el cuadrante.
2. Convierte \(10\angle(-30^\circ)\) a binómica.
3. Dos intensidades senoidales de la misma frecuencia y referencia tienen fasores \(\underline{I}_1=(4+j3)\) A e \(\underline{I}_2=(2-j5)\) A. Calcula su suma en ambas formas.
4. Calcula \((5+j5)/(1-j)\) y comprueba el resultado multiplicando por el divisor.

Soluciones comentadas de los cuatro ejercicios

1. Ambas componentes son negativas: tercer cuadrante. El módulo es \(\sqrt{64+36}=10\). La arcotangente de \((-6)/(-8)\) da aproximadamente 36,87°; debemos restar 180°:

$$z\approx10\angle(-143{,}13^\circ)$$

También es válida la fase equivalente de 216,87°.

2. Aplicamos coseno a la componente real y seno a la imaginaria:

$$z=10\cos(-30^\circ)+j10\sin(-30^\circ)=5\sqrt{3}-j5\approx8{,}660-j5$$

3. Sumamos componentes:

$$\underline{I}=[(4+2)+j(3-5)]\ \mathrm{A}=(6-j2)\ \mathrm{A}$$

El módulo es \(\sqrt{40}=2\sqrt{10}\) A y el argumento, \(\arctan(-2/6)\approx-18{,}43^\circ\):

$$\underline{I}\approx6{,}325\angle(-18{,}43^\circ)\ \mathrm{A}$$

4. Multiplicamos por el conjugado \(1+j\):

$$\frac{5+j5}{1-j}=\frac{(5+j5)(1+j)}{2}=\frac{j10}{2}=j5$$

La comprobación devuelve el dividendo: \(j5(1-j)=5+j5\).

Ya disponemos de las operaciones necesarias para convertir y combinar fasores sin perder su fase. El siguiente paso es estudiar cómo se relacionan la tensión y la intensidad en una resistencia, una bobina y un condensador. Después utilizaremos los números complejos para expresar la impedancia y aplicar la ley de Ohm en corriente alterna.

Si la dificultad está en interpretar la fase obtenida en un cálculo, vuelve a Fasores y diagramas de Fresnel. Si está en recuperar la señal temporal, repasa la ecuación senoidal y sus parámetros y la relación entre valor eficaz y máximo.

Los ejemplos de esta página se han elaborado para practicar las operaciones y su interpretación en corriente alterna.

• OpenStax, College Algebra 2e, 2.4. Complex Numbers: contraste de las operaciones binómicas y el conjugado.
• OpenStax, Precalculus 2e, 8.5. Polar Form of Complex Numbers: contraste de conversiones, módulos y operaciones polares.
• Chaniotakis y Cory, MIT, Sinusoidal Steady State Response: Frequency domain representation. Impedance, documento original, pp. 1–4: referencia para la conexión entre representación compleja y señales senoidales. Aquí se mantienen módulos eficaces y referencia seno.

Fuentes consultadas el 16/10/2026.