Circuitos RL, RC y RLC en serie:
cálculo y diagramas fasoriales
Antonio Jesús Romero Vallecillos
Profesor de Tecnología e Ingeniería en Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato
Conectamos una pila ideal de 12 V a tres resistencias de 10 Ω, 20 Ω y 30 Ω en serie. ¿Cuánto vale la caída de tensión en cada una y cómo se relacionan con la tensión de la pila?
La resistencia total es 60 Ω. Como hay un único camino para la corriente, calculamos una intensidad común:
$$I=\frac{12}{10+20+30}\ \mathrm A=0{,}20\ \mathrm A$$
Multiplicamos esa intensidad por cada resistencia y obtenemos caídas de 2 V, 4 V y 6 V. Su suma recupera la tensión de la pila:
$$V_1+V_2+V_3=2+4+6=12\ \mathrm V$$
Pasemos ahora a un alternador ideal de 230 V eficaces y 50 Hz conectado a una resistencia de 80 Ω, una bobina de 318,3 mH y un condensador de 79,58 µF, en serie. En régimen senoidal permanente, las tensiones eficaces en esos componentes resultan ser, aproximadamente, 184 V, 230 V y 92 V, respectivamente. De momento tomaremos estos resultados como punto de partida; los justificaremos más adelante.
$$184+230+92=506\ \mathrm V\ne230\ \mathrm V$$
¿Por qué la suma funciona en el circuito resistivo de continua y no recupera la tensión del alternador en este RLC? La ley de Kirchhoff sigue cumpliéndose. La diferencia está en que hemos sumado valores eficaces sin tener en cuenta cuándo alcanza cada tensión sus máximos, es decir, sus fases.
El objetivo de este artículo es explicar esa diferencia y aprender a calcular la intensidad y las tensiones de circuitos RL, RC y RLC en serie. Utilizaremos fasores: representaciones que reúnen valor eficaz y fase y que podemos sumar mediante diagramas vectoriales o números complejos.
Conviene conocer el comportamiento de la resistencia, la bobina y el condensador, la representación mediante fasores y las operaciones con números complejos. La impedancia y la ley de Ohm en alterna nos permitirán relacionar tensión e intensidad. Recordaremos las relaciones necesarias para seguir el procedimiento desde aquí.
El recorrido que seguiremos
- Datos del circuito. Identificaremos la resistencia \(R\), la inductancia de la bobina \(L\), la capacidad del condensador \(C\), la tensión eficaz de la fuente \(V\) y su frecuencia \(f\). Convertiremos los valores a ohmios, henrios, faradios, voltios y hercios antes de operar. Si el enunciado proporciona una fase inicial, también la anotaremos.
- Cálculo de las reactancias. A partir de la frecuencia y de los valores de la bobina y el condensador, obtendremos la reactancia inductiva \(X_L\) y la capacitiva \(X_C\). Así incorporaremos al cálculo el efecto de ambos componentes a la frecuencia de trabajo.
- Cálculo de la impedancia equivalente. Combinaremos la resistencia y las reactancias de los elementos en serie. Calcularemos la impedancia compleja, su módulo y su argumento: estos dos últimos datos permitirán obtener la intensidad eficaz y conocer el desfase entre tensión e intensidad.
- Cálculo de la intensidad mediante la ley de Ohm en corriente alterna. Dividiremos la tensión eficaz de la fuente entre el módulo de la impedancia para obtener la intensidad eficaz común a todos los componentes. El argumento de la impedancia nos indicará si esa intensidad se adelanta o se retrasa respecto a la tensión.
- Cálculo de las tensiones parciales. Con la intensidad ya calculada, obtendremos la caída de tensión en la resistencia, la bobina y el condensador. Representaremos cada tensión con su valor eficaz y su fase, tomando la intensidad como referencia en los ejemplos.
- Comprobación. Sumaremos los fasores de las tensiones parciales y verificaremos que la resultante coincide con la tensión de la fuente. Esta comprobación permitirá justificar por qué sumar únicamente los valores eficaces no recuperaba los 230 V del circuito inicial.
En este artículo
- Corriente común y condiciones del modelo
- Impedancia equivalente y cálculo de la intensidad
- Tensiones parciales y ley de Kirchhoff
- Diagrama de Fresnel con la intensidad como referencia
- Procedimiento para resolver un circuito serie
- Ejemplo RL: corriente y tensiones en una asociación inductiva
- Ejemplo RC: corriente adelantada y tensión capacitiva
- Ejemplo RLC: resta de tensiones inductiva y capacitiva
- Comparación de los resultados
- Errores frecuentes al resolver circuitos serie
- Ejercicios de cálculo e interpretación
- De la conexión serie a la conexión paralelo
- Fuentes consultadas
Corriente común y condiciones del modelo
Una conexión en serie tiene un único camino para la corriente, sin derivaciones entre los componentes. La intensidad instantánea es la misma en todos ellos; también lo es su fasor. Esto no significa que la intensidad sea constante en el tiempo: varía senoidalmente, pero en cada instante tiene el mismo valor a lo largo de la serie.
Trabajaremos con componentes ideales, una fuente senoidal de frecuencia positiva y régimen permanente senoidal. No estudiaremos el transitorio de conexión ni acoplamientos magnéticos entre bobinas. La resistencia total será positiva, de modo que la impedancia equivalente no se anule.
Usaremos módulos eficaces y referencia seno. Una intensidad representada por el fasor \(\underline I=I\angle\theta_I\) corresponde a:
$$i(t)=\sqrt2\,I\sin(\omega t+\theta_I),\qquad \omega=2\pi f$$
En esta ecuación, \(t\) se expresa en segundos, \(f\) en hercios y los ángulos dentro del seno en radianes. En las operaciones fasoriales escribiremos los ángulos en grados. El subrayado identifica un fasor; una letra sin subrayar, como \(I\) o \(V_R\), indica su módulo eficaz.
Las tensiones de los componentes se orientan como caídas según el convenio pasivo: la corriente de referencia entra por el terminal marcado con signo positivo. La tensión del generador se toma como la elevación que equilibra esas caídas. Las flechas fijan referencias algebraicas; no representan un sentido permanente de circulación de la corriente alterna.
Impedancia equivalente y cálculo de la intensidad
La impedancia reúne la relación entre módulos y el desfase entre tensión e intensidad. Para los componentes ideales:
$$Z_R=R,\qquad Z_L=jX_L,\qquad Z_C=-jX_C$$
Aquí \(j^2=-1\), \(R\) es la resistencia en ohmios, \(L\) la inductancia en henrios y \(C\) la capacidad en faradios. Definimos las reactancias inductiva y capacitiva como cantidades positivas:
$$X_L=\omega L,\qquad X_C=\frac1{\omega C}$$
El signo capacitivo aparece en \(-jX_C\); no hay que volver a introducirlo en el valor de \(X_C\).
En serie, sumamos las impedancias complejas. Para un circuito con los tres componentes obtenemos:
$$Z_{\mathrm{eq}}=R+jX_L-jX_C=R+j(X_L-X_C)$$
La reactancia neta con signo es \(X=X_L-X_C\). El módulo y el argumento de la impedancia son:
$$|Z_{\mathrm{eq}}|=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}$$
$$\varphi=\arctan\left(\frac{X_L-X_C}{R}\right),\qquad R>0$$
La condición \(R>0\) permite utilizar esta arcotangente sin ambigüedad de cuadrante. Definimos \(\varphi=\theta_V-\theta_I\): fase de la tensión total menos fase de la intensidad.
Si conocemos \(\underline V=V\angle\theta_V\), aplicamos la ley de Ohm fasorial:
$$\underline I=\frac{\underline V}{Z_{\mathrm{eq}}}=\frac{V}{|Z_{\mathrm{eq}}|}\angle(\theta_V-\varphi)$$
Con ello obtenemos dos resultados: la intensidad eficaz \(I=V/|Z_{\mathrm{eq}}|\) y su fase \(\theta_I=\theta_V-\varphi\). En un RL se elimina el término capacitivo; en un RC, el inductivo. El resto del procedimiento es el mismo.
Tensiones parciales y ley de Kirchhoff
Una vez calculada la corriente, obtenemos la tensión de cada componente multiplicando su impedancia por el mismo fasor de intensidad:
$$\underline V_R=R\underline I,\qquad \underline V_L=jX_L\underline I,\qquad \underline V_C=-jX_C\underline I$$
Los módulos eficaces son \(V_R=IR\), \(V_L=IX_L\) y \(V_C=IX_C\). Sus fases no son iguales: la tensión de la resistencia está en fase con la corriente; la de la bobina la adelanta 90° y la del condensador la retrasa 90°.
La ley de Kirchhoff se cumple tanto para los valores instantáneos como para los fasores:
$$v(t)=v_R(t)+v_L(t)+v_C(t)$$
$$\underline V=\underline V_R+\underline V_L+\underline V_C$$
La suma de los valores eficaces no sustituye a esta suma fasorial. Los máximos de las tensiones desfasadas no se producen simultáneamente. Por ello, los valores que leeríamos en tres voltímetros no se pueden sumar como si correspondieran a tensiones en fase.
Qué dice la ley de tensiones de Kirchhoff y cómo se aplica aquí
Aquí utilizamos la ley de las tensiones de Kirchhoff, también llamada segunda ley o ley de las mallas. Una malla es un recorrido cerrado dentro del circuito. En el modelo que estamos usando, la suma algebraica de las subidas y bajadas de tensión a lo largo de ese recorrido es cero: la tensión que aporta el generador se equilibra con las caídas de los componentes.
Por ejemplo, en el circuito de continua de la introducción, la pila aporta 12 V y las resistencias presentan caídas de 2 V, 4 V y 6 V. Con esos signos:
$$12-2-4-6=0\ \mathrm V$$
En alterna, el balance sigue cumpliéndose en cada instante. Para señales senoidales de igual frecuencia también podemos expresarlo sumando sus fasores con una referencia de fase común. No podemos sustituir esa suma fasorial por la suma aritmética de sus valores eficaces cuando las tensiones están desfasadas.
Diagrama de Fresnel con la intensidad como referencia
Podemos elegir cualquier referencia de fase común. En los circuitos serie resulta especialmente útil tomar la intensidad como referencia porque atraviesa todos los componentes:
$$\underline I=I\angle0^\circ$$
Con esta elección, las tensiones quedan orientadas de forma sencilla:
| Tensión | Fasor | Orientación respecto a la intensidad |
|---|---|---|
| Resistencia | \(\underline V_R=IR\) | Horizontal hacia la derecha, 0° |
| Bobina | \(\underline V_L=jIX_L\) | Vertical hacia arriba, +90° |
| Condensador | \(\underline V_C=-jIX_C\) | Vertical hacia abajo, −90° |
Observa primero las direcciones, sin calcular: la tensión de la resistencia sigue a la corriente, la de la bobina apunta hacia arriba y la del condensador hacia abajo. Solo después combinamos sus longitudes.
Como las tensiones de bobina y condensador tienen sentidos opuestos en el diagrama, su suma tiene componente vertical \(V_L-V_C\). La tensión total resulta:
$$\underline V=V_R+j(V_L-V_C)$$
El triángulo de tensiones tiene un cateto horizontal \(V_R\), un cateto vertical con signo \(V_L-V_C\) y una hipotenusa de longitud \(V\):
$$V=\sqrt{V_R^2+(V_L-V_C)^2}$$
$$\varphi=\arctan\left(\frac{V_L-V_C}{V_R}\right)$$
Esta última expresión utiliza \(V_R>0\), como ocurre en los casos alimentados que estudiaremos. Si \(V_L>V_C\), el circuito tiene carácter inductivo y \(\varphi>0\): la tensión total adelanta a la intensidad. Si \(V_L<V_C\), tiene carácter capacitivo y \(\varphi<0\): la intensidad adelanta a la tensión total.
Si \(V_L=V_C\), sus fasores se cancelan y la tensión total queda en fase con la corriente, aunque las tensiones individuales de bobina y condensador puedan ser distintas de cero. El estudio de cómo se alcanza esta condición al variar la frecuencia corresponde al artículo de resonancia.
El triángulo de tensiones expresa voltios. Aunque tenga la misma forma que el triángulo de impedancias, este último expresa ohmios: las longitudes del primero se obtienen multiplicando las del segundo por la intensidad eficaz.
Procedimiento para resolver un circuito serie
- Identificar los datos y el modelo. Dibujar la única trayectoria de corriente, indicar la frecuencia y convertir mH a H y µF a F. Comprobar si la tensión dada es eficaz o máxima.
- Calcular las reactancias. Obtener \(X_L=2\pi fL\) y \(X_C=1/(2\pi fC)\) para los elementos presentes.
- Sumar las impedancias. Operar en forma binómica para conservar la resta entre efectos inductivo y capacitivo. Predecir el signo del desfase antes de calcularlo.
- Obtener la intensidad. Dividir el fasor de tensión entre la impedancia equivalente; la forma polar facilita este cociente.
- Calcular las tensiones parciales. Multiplicar la misma corriente fasorial por cada impedancia. Conservar la referencia elegida durante todas las operaciones.
- Comprobar e interpretar. Sumar los fasores de tensión, representar el diagrama y verificar que el signo de la fase coincide con el carácter previsto. Redondear al final.
En los tres ejemplos mantendremos la intensidad como referencia desde el comienzo. El paso a tensión de referencia se muestra aparte como ampliación; no es necesario para seguir los cálculos principales. Lo que debemos evitar es combinar, en la misma suma, fasores calculados con referencias diferentes.
Ejemplo RL: corriente y tensiones en una asociación inductiva
Una resistencia de 30 Ω y una bobina ideal de 80 mH están en serie con una fuente de 24 V eficaces y 50 Hz. Elegimos la intensidad como referencia en este ejemplo y en los siguientes: \(\underline I=I\angle0^\circ\) . Primero calcularemos su valor eficaz; la fase de la tensión total se obtendrá de la impedancia.
1. Reactancia e impedancia. Convertimos la inductancia a henrios y calculamos el efecto de la bobina a 50 Hz:
$$X_L=2\pi\cdot50\cdot0{,}080\ \Omega\approx25{,}13\ \Omega$$
$$Z_{\mathrm{eq}}\approx(30+j25{,}13)\ \Omega$$
Su módulo y su argumento proporcionan los datos necesarios para conocer la intensidad y el desfase:
$$|Z_{\mathrm{eq}}|=\sqrt{30^2+25{,}13^2}\ \Omega\approx39{,}14\ \Omega$$
$$\varphi=\arctan\left(\frac{25{,}13}{30}\right)\approx39{,}95^\circ$$
2. Intensidad común. Dividimos la tensión eficaz entre el módulo de la impedancia:
$$I\approx\frac{24}{39{,}14}\ \mathrm A\approx0{,}613\ \mathrm A$$
Como hemos elegido esa corriente con fase cero, \(\underline I\approx0{,}613\angle0^\circ\) A. El carácter inductivo hace que la tensión total la adelante 39,95°; equivalentemente, la corriente retrasa ese ángulo respecto a la fuente.
3. Tensiones parciales. Multiplicamos la misma intensidad por cada impedancia, conservando cifras internas:
$$\underline V_R=R\underline I\approx18{,}40\angle0^\circ\ \mathrm V$$
$$\underline V_L=jX_L\underline I\approx15{,}41\angle90^\circ\ \mathrm V$$
4. Comprobación. La tensión resistiva es horizontal y la inductiva vertical. Las sumamos como fasores:
$$\underline V\approx(18{,}40+j15{,}41)\ \mathrm V\approx24\angle39{,}95^\circ\ \mathrm V$$
El módulo recupera los 24 V del generador. En cambio, sumar los módulos daría 18,40 + 15,41 = 33,81 V. La figura utiliza exactamente la referencia de los cálculos.
Comprobación del RL con la tensión como referencia
Si el enunciado fija la fuente con fase cero, restamos 39,95° a todos los fasores. No cambia el circuito ni sus desfases relativos:
$$\underline V=24\angle0^\circ\ \mathrm V,\qquad \underline I\approx0{,}613\angle(-39{,}95^\circ)\ \mathrm A$$
$$\underline V_R\approx18{,}40\angle(-39{,}95^\circ)\ \mathrm V$$
$$\underline V_L\approx15{,}41\angle50{,}05^\circ\ \mathrm V$$
En forma binómica, las tensiones son aproximadamente (14,10−j11,81) V y (9,90+j11,81) V. Sus partes imaginarias se cancelan y la suma es 24+j0 V. Esta es la misma solución expresada con otro origen de fases.
Comprueba el RL: ¿pueden sumarse 18,40 V y 15,41 V?
Antes de abrir la respuesta, decide si 33,81 V puede ser la tensión del generador y justifica tu elección.
Respuesta: no. Esos dos valores eficaces corresponden a tensiones desfasadas 90°. Sus fasores son perpendiculares; el módulo de la resultante se obtiene mediante \(\sqrt{18{,}40^2+15{,}41^2}\approx24\) V.
Ejemplo RC: corriente adelantada y tensión capacitiva
Conectamos 60 Ω y un condensador ideal de 47 µF en serie a 12 V eficaces y 50 Hz. Mantenemos la intensidad como referencia; así podremos comparar directamente las orientaciones con el ejemplo RL.
1. Reactancia e impedancia. Convertimos \(C=47\cdot10^{-6}\) F y calculamos:
$$X_C=\frac1{2\pi\cdot50\cdot47\cdot10^{-6}}\ \Omega\approx67{,}73\ \Omega$$
$$Z_{\mathrm{eq}}\approx(60-j67{,}73)\ \Omega$$
$$|Z_{\mathrm{eq}}|\approx90{,}48\ \Omega,\qquad\varphi\approx-48{,}46^\circ$$
El argumento negativo anticipa un comportamiento capacitivo: la tensión total quedará retrasada respecto a la corriente.
2. Intensidad común. Calculamos su valor eficaz y le asignamos la fase de referencia:
$$I\approx\frac{12}{90{,}48}\ \mathrm A\approx0{,}1326\ \mathrm A$$
$$\underline I\approx0{,}1326\angle0^\circ\ \mathrm A$$
3. Tensiones parciales. La resistencia conserva la fase de la corriente; la tensión capacitiva la retrasa 90°:
$$\underline V_R=R\underline I\approx7{,}96\angle0^\circ\ \mathrm V$$
$$\underline V_C=-jX_C\underline I\approx8{,}98\angle(-90^\circ)\ \mathrm V$$
4. Comprobación. Sumamos la componente horizontal y la vertical negativa:
$$\underline V\approx(7{,}96-j8{,}98)\ \mathrm V\approx12\angle(-48{,}46^\circ)\ \mathrm V$$
La corriente eficaz es aproximadamente 132,6 mA y adelanta 48,46° a la tensión total. Su fase elegida es 0°; el adelanto se reconoce porque la tensión tiene fase −48,46°.
Comprobación del RC con la tensión como referencia
Para llevar la fuente de −48,46° a 0° sumamos 48,46° a todos los fasores:
$$\underline V=12\angle0^\circ\ \mathrm V,\qquad\underline I\approx0{,}1326\angle48{,}46^\circ\ \mathrm A$$
$$\underline V_R\approx7{,}96\angle48{,}46^\circ\ \mathrm V$$
$$\underline V_C\approx8{,}98\angle(-41{,}54^\circ)\ \mathrm V$$
Las formas binómicas aproximadas son (5,28+j5,96) V y (6,72−j5,96) V. La suma recupera 12+j0 V. La corriente mantiene su adelanto de 48,46° respecto a la tensión.
Comprueba el RC: ¿por qué la tensión total tiene fase negativa?
Intenta responder antes de consultar la explicación.
Respuesta: con la intensidad como referencia, la tensión resistiva tiene fase 0° y la capacitiva −90°. Su resultante se orienta por debajo del eje horizontal. Esto equivale a decir que la intensidad adelanta a la tensión total.
Ejemplo RLC: resta de tensiones inductiva y capacitiva
Un circuito contiene una resistencia de 40 Ω, una bobina ideal de 100 mH y un condensador ideal de 47 µF, todos en serie. La fuente suministra 24 V eficaces y 50 Hz.
Calculamos las reactancias sin redondear los valores intermedios:
$$X_L=2\pi\cdot50\cdot0{,}100\ \Omega\approx31{,}42\ \Omega$$
$$X_C=\frac1{2\pi\cdot50\cdot47\cdot10^{-6}}\ \Omega\approx67{,}73\ \Omega$$
El efecto capacitivo es mayor. La reactancia neta es \(X_L-X_C\approx-36{,}31\) Ω y la impedancia equivalente resulta:
$$Z_{\mathrm{eq}}\approx(40-j36{,}31)\ \Omega\approx54{,}02\angle(-42{,}23^\circ)\ \Omega$$
Obtenemos la intensidad eficaz:
$$I=\frac{V}{|Z_{\mathrm{eq}}|}\approx\frac{24}{54{,}02}\ \mathrm A\approx0{,}444\ \mathrm A$$
Para construir el diagrama tomamos ahora la intensidad como referencia desde el principio. Su fasor es \(\underline I\approx0{,}444\angle0^\circ\) A y la tensión del generador tendrá fase −42,23°. Multiplicamos por cada impedancia:
$$\underline V_R\approx17{,}77\angle0^\circ\ \mathrm V$$
$$\underline V_L\approx13{,}96\angle90^\circ\ \mathrm V$$
$$\underline V_C\approx30{,}09\angle(-90^\circ)\ \mathrm V$$
La suma fasorial, conservando cifras internas antes de redondear, es:
$$\underline V\approx17{,}77+j13{,}96-j30{,}09\ \mathrm V\approx(17{,}77-j16{,}13)\ \mathrm V$$
Con los valores no redondeados, su módulo es 24 V y su argumento −42,23°. La corriente adelanta 42,23° a la tensión del generador, coherentemente con el carácter capacitivo previsto.
La tensión eficaz del condensador, aproximadamente 30,09 V, es mayor que los 24 V de alimentación. No hay contradicción: su tensión está en oposición de fase a la de la bobina y ambas se compensan parcialmente en la suma. Este resultado también muestra por qué no basta conocer la tensión del generador para estimar la tensión que soporta cada componente.
Cómo escribir las señales temporales del circuito RLC
Con la corriente como referencia, \(\omega=100\pi\) rad/s y el ángulo −42,23° equivale aproximadamente a −0,737 rad. Convertimos cada módulo eficaz a máximo multiplicando por \(\sqrt2\):
$$i(t)\approx0{,}444\sqrt2\sin(100\pi t)\ \mathrm A$$
$$v_R(t)\approx17{,}77\sqrt2\sin(100\pi t)\ \mathrm V$$
$$v_L(t)\approx13{,}96\sqrt2\sin(100\pi t+\pi/2)\ \mathrm V$$
$$v_C(t)\approx30{,}09\sqrt2\sin(100\pi t-\pi/2)\ \mathrm V$$
$$v(t)\approx24\sqrt2\sin(100\pi t-0{,}737)\ \mathrm V$$
Las expresiones redondeadas satisfacen aproximadamente Kirchhoff; con los coeficientes sin redondear lo hacen en todos los instantes del modelo. Si el enunciado fija la fuente como \(v(t)=24\sqrt2\sin(100\pi t)\) V, debemos sumar aproximadamente 0,737 rad a todas las fases anteriores. La intensidad pasa a adelantarse 0,737 rad a esa fuente; las diferencias de fase se conservan.
Comprueba el RLC: ¿basta que haya una bobina para que sea inductivo?
Respuesta: no. Hay que comparar las dos reactancias a la frecuencia de trabajo. En este ejemplo XC es mayor que XL; la reactancia neta es negativa y el comportamiento del conjunto es capacitivo.
Ahora podemos justificar el circuito de la introducción. Volvemos al alternador de 230 V eficaces y 50 Hz, con R = 80 Ω, L = 318,3 mH y C = 79,58 µF. Aplicamos el mismo procedimiento, manteniendo la intensidad como referencia.
$$X_L\approx100\ \Omega,\qquad X_C\approx40\ \Omega$$
$$Z_{\mathrm{eq}}\approx(80+j60)\ \Omega,\qquad |Z_{\mathrm{eq}}|\approx100\ \Omega$$
$$I\approx\frac{230}{100}\ \mathrm A=2{,}30\ \mathrm A$$
Multiplicando la intensidad por cada impedancia obtenemos los valores eficaces anunciados: VR ≈ 184 V, VL ≈ 230 V y VC ≈ 92 V. Con nuestra referencia:
$$\underline V\approx184+j230-j92=184+j138\ \mathrm V$$
$$V\approx\sqrt{184^2+138^2}\ \mathrm V=230\ \mathrm V$$
La tensión de la bobina y la del condensador están en oposición, por lo que sus componentes verticales se restan. Después combinamos esa diferencia con la componente resistiva. La suma aritmética de módulos era 506 V, pero el módulo de la suma fasorial es 230 V. La ley de Kirchhoff se cumple; lo que faltaba al comienzo era incorporar las fases. Con los valores nominales redondeados de L y C, los resultados anteriores son aproximados.
Comparación de los resultados
La referencia de esta tabla es la intensidad. Los tres casos conservan los datos de sus respectivos ejemplos; no son ensayos del mismo circuito.
| Circuito | Impedancia equivalente aproximada | Intensidad eficaz | Desfase \(\varphi\) | Respuesta |
|---|---|---|---|---|
| RL: 24 V, 50 Hz, 30 Ω, 80 mH | \(30+j25{,}13\) Ω | 0,613 A | +39,95° | Corriente retrasada |
| RC: 12 V, 50 Hz, 60 Ω, 47 µF | \(60-j67{,}73\) Ω | 0,1326 A | −48,46° | Corriente adelantada |
| RLC: 24 V, 50 Hz, 40 Ω, 100 mH, 47 µF | \(40-j36{,}31\) Ω | 0,444 A | −42,23° | Predominio capacitivo |
En un RLC, la presencia de una bobina no garantiza un comportamiento inductivo: hay que comparar \(X_L\) y \(X_C\) a la frecuencia de trabajo. Si cambia la frecuencia, es necesario recalcular ambas reactancias y la impedancia del conjunto.
Errores frecuentes al resolver circuitos serie
- Sumar \(R+X_L+X_C\) para hallar el módulo. Las partes resistiva y reactiva son perpendiculares en el plano complejo; además, las reactancias inductiva y capacitiva se restan. Primero se obtiene \(R+j(X_L-X_C)\) y después su módulo.
- Sumar los módulos de las tensiones. Kirchhoff relaciona valores instantáneos o fasores con una referencia común. En general, \(V\ne V_R+V_L+V_C\).
- Asignar +90° a la tensión de toda bobina sin indicar referencia. Está 90° por delante de su corriente. Solo tendrá fase absoluta +90° si esa corriente tiene fase cero.
- Confundir el signo de la reactancia con el de la intensidad. Con la fuente a 0°, una impedancia capacitiva tiene argumento negativo y la corriente resultante tiene fase positiva.
- Redondear pronto o mezclar unidades. Un valor de 47 µF equivale a \(47\cdot10^{-6}\) F; usar 47 en la fórmula altera el resultado por un factor de un millón. Conviene conservar cifras internas hasta el resultado final.
Ejercicios de cálculo e interpretación
En los ejercicios 1–3, los valores de reactancia ya están calculados a la frecuencia de trabajo. Todas las tensiones indicadas son eficaces.
- RL. Una fuente de 20 V alimenta en serie \(R=8\) Ω y una bobina de \(X_L=6\) Ω. Obtén la impedancia, la corriente y las tensiones parciales. Representa los fasores tomando la intensidad como referencia.
- RC. Una fuente de 26 V alimenta en serie \(R=12\) Ω y un condensador de \(X_C=5\) Ω. Calcula la corriente y el desfase. Comprueba la suma fasorial de tensiones.
- RLC. Una fuente de 24 V alimenta en serie \(R=6\) Ω, \(X_L=12\) Ω y \(X_C=4\) Ω. Calcula la corriente y las tres tensiones. ¿Puede la tensión de la bobina superar la del generador?
- Cambio de referencia. En el ejercicio 3, escribe los fasores de corriente y tensión total primero con la corriente a 0° y después con la tensión total a 0°. Explica qué conserva el cambio.
- Procedimiento completo. Una fuente de 24 V eficaces y 50 Hz alimenta en serie R = 30 Ω, L = 80 mH y C = 100 µF. Predice el carácter del circuito, calcula reactancias, impedancia, intensidad y tensiones parciales, y comprueba la suma fasorial tomando la corriente como referencia.
Soluciones comentadas de los ejercicios RL, RC y RLC
1. RL. La impedancia es \(Z=8+j6=10\angle36{,}87^\circ\) Ω. Su módulo permite calcular \(I=20/10=2\) A. Con corriente de referencia:
$$\underline I=2\angle0^\circ\ \mathrm A,\qquad \underline V_R=16\angle0^\circ\ \mathrm V,\qquad \underline V_L=12\angle90^\circ\ \mathrm V$$
La tensión total es \(\underline V=16+j12=20\angle36{,}87^\circ\) V. Comprobamos \(\sqrt{16^2+12^2}=20\) V. La corriente retrasa 36,87° respecto a la fuente.
2. RC. La impedancia es \(Z=12-j5=13\angle(-22{,}62^\circ)\) Ω. La corriente eficaz vale \(26/13=2\) A. Con intensidad de referencia, \(\underline V_R=24+j0\) V y \(\underline V_C=-j10\) V. Su suma es:
$$\underline V=24-j10=26\angle(-22{,}62^\circ)\ \mathrm V$$
El módulo recupera \(\sqrt{24^2+10^2}=26\) V. La corriente adelanta 22,62° a la tensión total. Si la fuente se toma a 0°, la corriente será \(2\angle22{,}62^\circ\) A.
3. RLC. Primero restamos las reactancias: \(X=12-4=8\) Ω. Por tanto, \(Z=6+j8=10\angle53{,}13^\circ\) Ω y \(I=24/10=2{,}4\) A. Con corriente de referencia:
$$\underline V_R=14{,}4\ \mathrm V,\qquad \underline V_L=j28{,}8\ \mathrm V,\qquad \underline V_C=-j9{,}6\ \mathrm V$$
La suma es \(14{,}4+j19{,}2=24\angle53{,}13^\circ\) V. El módulo se comprueba mediante \(\sqrt{14{,}4^2+19{,}2^2}=24\) V. La bobina soporta 28,8 V eficaces, más que el generador; su fasor se compensa parcialmente con el del condensador.
4. Referencias. Con corriente a 0°, \(\underline I=2{,}4\angle0^\circ\) A y \(\underline V=24\angle53{,}13^\circ\) V. Para llevar la fuente a 0° restamos 53,13° a todos los fasores:
$$\underline V=24\angle0^\circ\ \mathrm V,\qquad \underline I=2{,}4\angle(-53{,}13^\circ)\ \mathrm A$$
Los módulos y el desfase \(\theta_V-\theta_I=53{,}13^\circ\) se conservan. También se conservan las relaciones de fase de las tensiones parciales si se giran con el mismo ángulo.
5. Procedimiento completo. A 50 Hz obtenemos XL ≈ 25,13 Ω y XC ≈ 31,83 Ω. La reactancia neta es −6,70 Ω: esperamos carácter capacitivo.
$$Z\approx(30-j6{,}70)\ \Omega,\qquad |Z|\approx30{,}74\ \Omega$$
$$I\approx\frac{24}{30{,}74}\ \mathrm A\approx0{,}781\ \mathrm A$$
Con la intensidad de referencia, VR ≈ 23,42 V, VL ≈ 19,62 V y VC ≈ 24,85 V. Sumando cifras internas sin redondear:
$$\underline V\approx(23{,}42-j5{,}23)\ \mathrm V\approx24\angle(-12{,}59^\circ)\ \mathrm V$$
La corriente adelanta aproximadamente 12,59° a la tensión total. Los datos de frecuencia y componentes son necesarios para obtener las reactancias, a diferencia de los ejercicios anteriores.
De la conexión serie a la conexión paralelo
En serie hemos utilizado una intensidad común para calcular tensiones distintas y sumarlas fasorialmente. En una asociación en paralelo cambia la magnitud compartida: las ramas tienen la misma tensión y sus corrientes pueden estar desfasadas. Puedes continuar con Circuitos RL, RC y RLC en paralelo, donde obtendremos esas corrientes y las sumaremos conservando sus fases.
Fuentes consultadas
- Samuel J. Ling, William Moebs y Jeff Sanny, OpenStax, University Physics, Volume 2, 15.3. RLC Series Circuits with AC. Consulta: 18/10/2026. Contraste de corriente común y suma geométrica de tensiones. La fuente utiliza amplitudes; aquí empleamos módulos eficaces y distinguimos la impedancia compleja \(Z\) de su módulo \(|Z|\).
- Chaniotakis y Cory, MIT, Sinusoidal Steady State Response: Frequency domain representation. Impedance, documento original, pp. 1–4. Consulta: 18/10/2026. Contraste del cálculo de la corriente de un RL y su reconstrucción temporal, adaptando explícitamente la referencia y los módulos.
El desarrollo, los ejemplos numéricos, los ejercicios y las figuras se han preparado para este artículo.