Impedancia y ley de Ohm en corriente alterna

Para resolver un circuito de corriente alterna necesitamos responder dos preguntas: qué intensidad eficaz circula y cómo se desfasa respecto a la tensión. La resistencia por sí sola no describe el efecto de bobinas y condensadores. Para incluirlo utilizamos la impedancia.

El objetivo es obtener la intensidad eficaz y su desfase. Seguiremos el siguiente procedimiento: identificar la resistencia y las reactancias, calcular el módulo y el argumento de la impedancia y aplicar la ley de Ohm. Después lo utilizaremos en un ejemplo RLC serie.

Conviene conocer los fasores, las operaciones con números complejos y el comportamiento de R, L y C. Aquí recordaremos lo necesario para seguir el cálculo.

La impedancia relaciona la tensión y la intensidad de una carga a una frecuencia determinada. Contiene dos datos: el módulo, que relaciona sus valores eficaces, y el argumento, que expresa su diferencia de fase. Se mide en ohmios (Ω).

Trabajamos con circuitos lineales en régimen permanente senoidal: el transitorio es despreciable y las señales consideradas tienen la misma frecuencia. Utilizamos fasores de valor eficaz y referencia seno. Tomamos la corriente entrando por el terminal de referencia positiva de la tensión, según el convenio receptor.

Condiciones de trabajo: régimen permanente, valor eficaz y convenio receptor

La gráfica muestra una conexión de una carga RL: la corriente contiene al principio un término exponencial que se atenúa. Fuera de ese transitorio, tensión e intensidad tienen la misma frecuencia, aunque estén desfasadas. Las curvas están normalizadas respecto a sus respectivos máximos.

Para una intensidad no nula, el cociente anterior define la impedancia. Las letras subrayadas son fasores; \(V\) e \(I\) sin subrayar indican valores eficaces. Al dividir los fasores, dividimos sus módulos y restamos sus fases:

Por ejemplo, \(Z=10\angle30^\circ\ \Omega\) significa que \(V/I=10\ \Omega\) y que la tensión adelanta 30° a la intensidad. Si aplicamos 20 V eficaces, la intensidad eficaz será 2 A.

Por qué el argumento no es la fase inicial de la tensión

Con la intensidad como referencia, \(\theta_I=0^\circ\) y \(\theta_V=30^\circ\). Con la tensión como referencia, \(\theta_V=0^\circ\) y \(\theta_I=-30^\circ\). En ambos casos, \(\theta_V-\theta_I=30^\circ\). Cambian las fases individuales, pero no su diferencia ni la impedancia.

Para calcular una impedancia a partir del circuito, distinguimos su componente resistiva y su componente reactiva:

• \(R\): resistencia equivalente, relacionada con la disipación de energía.
• \(X\): reactancia equivalente con signo, relacionada con el efecto neto de bobinas y condensadores.
• \(j\): unidad imaginaria, con \(j^2=-1\), que permite representar la componente reactiva.

Tanto \(R\) como \(X\) y \(Z\) se expresan en ohmios. La impedancia \(Z\) es el número complejo completo; su módulo \(|Z|\) es un número real no negativo. Esta distinción será importante al aplicar la ley de Ohm.

La frecuencia determina las reactancias de la bobina y del condensador. Con \(\omega=2\pi f\), calculamos:

En estas expresiones, \(f\) se expresa en Hz, \(L\) en H y \(C\) en F. Definimos \(X_L\) y \(X_C\) como cantidades positivas. Sus signos se incorporan al escribir las impedancias:

Componente ideal	Impedancia	Relación de fase
Resistencia	\(Z_R=R\)	Tensión e intensidad en fase
Bobina	\(Z_L=jX_L\)	La intensidad retrasa 90°
Condensador	\(Z_C=-jX_C\)	La intensidad adelanta 90°

Al aumentar la frecuencia, aumenta la reactancia inductiva y disminuye la capacitiva. Por eso una impedancia debe referirse siempre a una frecuencia determinada.

Una vez obtenida la impedancia, aplicamos la ley de Ohm a los fasores:

Para resolver un problema conviene separar los dos resultados que buscamos:

La primera expresión proporciona la intensidad eficaz; la segunda, su fase. Si elegimos la tensión como referencia, \(\theta_V=0\) y la fase de la intensidad es \(-\varphi\). Un argumento positivo de la impedancia produce así una intensidad retrasada.

Impedancia en un circuito RLC en serie

En una asociación serie, la corriente es común y las impedancias se suman. La reactancia inductiva entra con signo positivo y la capacitiva, con signo negativo. Por tanto:

Al sustituir esta reactancia neta en las expresiones del triángulo obtenemos las fórmulas que utilizaremos en los problemas:

Estas expresiones con la diferencia de reactancias corresponden al circuito serie. En paralelo calcularemos la impedancia equivalente con otro procedimiento. Si \(X_L>X_C\) el conjunto es inductivo; si \(X_L<X_C\) es capacitivo; y si coinciden, su reactancia neta es cero.

1. Calcula \(X_L\) y \(X_C\) a la frecuencia indicada.
2. Resta sus valores para obtener \(X=X_L-X_C\).
3. Obtén \(|Z|\) y \(\varphi\).
4. Calcula \(I=V/|Z|\) e interpreta el desfase.

Conectamos en serie una resistencia de 40 Ω, una bobina ideal de 0,20 H y un condensador ideal de 100 μF. La tensión aplicada es de 24 V eficaces a 50 Hz. Queremos hallar la intensidad eficaz y su desfase respecto a la tensión.

1. Calculamos las reactancias. Convertimos \(100\ \mu\mathrm F=100\cdot10^{-6}\ \mathrm F\) y obtenemos la pulsación:

2. Obtenemos la reactancia neta. Al estar en serie, restamos las reactancias:

La reactancia neta es positiva: antes de continuar ya sabemos que la intensidad se retrasará.

3. Calculamos el módulo y el argumento de la impedancia.

4. Aplicamos la ley de Ohm. Dividimos la tensión eficaz entre el módulo de la impedancia:

La intensidad eficaz es 0,474 A y se retrasa 37,78° respecto a la tensión. Hemos utilizado el módulo de la impedancia, no solo los 40 Ω de resistencia. Tomando la tensión como referencia:

Comprobación compleja y expresión temporal de la intensidad

Conservando las cifras internas durante el cálculo, el cociente complejo es:

$$\underline I=\frac{24}{40+j31{,}0009}\approx(0{,}37485-j0{,}29051)\ \mathrm A$$

Al multiplicar \(Z\underline I\) recuperamos \(24+j0\ \mathrm V\), salvo redondeo. Para reconstruir la onda, multiplicamos el valor eficaz por \(\sqrt2\) y expresamos la fase en radianes:

$$i(t)\approx0{,}671\sin(100\pi t-0{,}6593)\ \mathrm A$$

La tensión correspondiente es \(v(t)=24\sqrt2\sin(100\pi t)\ \mathrm V\), con \(t\) en segundos.

Consideremos ahora otra carga cuya impedancia a 50 Hz sea \(Z\approx(40-j31{,}00)\ \Omega\), alimentada con los mismos 24 V eficaces. Su módulo sigue siendo 50,61 Ω, pero el argumento es −37,78°.

La intensidad eficaz es de nuevo 0,474 A. Al tomar la tensión como referencia, obtenemos:

La misma intensidad eficaz puede ir acompañada de un desfase distinto. La primera carga retrasa la intensidad; la segunda la adelanta. El módulo permite calcular cuánto vale y el argumento permite interpretar su fase.

También podemos obtener la impedancia a partir de los fasores de tensión e intensidad: dividimos los módulos y restamos sus fases. Si solo conocemos los valores eficaces, únicamente podemos obtener el módulo de la impedancia.

Ejemplo inverso: obtener Z, R y X a partir de los fasores

Supongamos \(\underline V=30\angle20^\circ\ \mathrm V\) e \(\underline I=3\angle50^\circ\ \mathrm A\).

$$Z=\frac{30}{3}\angle(20^\circ-50^\circ)=10\angle(-30^\circ)\ \Omega$$

La intensidad adelanta 30° a la tensión. Por proyección:

$$R=10\cos(-30^\circ)\approx8{,}66\ \Omega$$

$$X=10\sin(-30^\circ)=-5\ \Omega$$

Por tanto, \(Z\approx(8{,}66-j5)\ \Omega\). Describe el comportamiento de la carga a esa frecuencia, sin identificar de forma única sus componentes internos.